¿Las ondas de luz siguen con precisión caminos geodésicos nulos en la Relatividad General?

En relatividad especial se puede demostrar que una solución de onda plana de las ecuaciones de Maxwell (en el vacío), de la forma$A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$tiene las siguientes propiedades: La normalidad$k:=\mathrm{d}\psi$a las superficies de constante$\psi$es un vector nulo y las curvas integrales de$k$son geodésicas nulas. Aquí$A$es el vector potencial electromagnético,$C$es un vector constante y$\psi$es alguna función.

Este análisis es posible debido a la forma relativamente simple de las ecuaciones de Maxwell en el espacio plano,$\partial^a\partial_a A^b=0$(Calibre Lorenz asumido). Sin embargo, en el espacio-tiempo curvo, tenemos un término adicional relacionado con el tensor de Ricci que es irrelevante para SR:

El tratamiento de libro de texto es mirar ahora soluciones de la forma$A^a=C^a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$donde las derivadas covariantes de$C$son pequeños." Para obtener la condición de$\mathrm{d}\psi$ser nulo y autoparalelo ($\nabla_a\psi\nabla^a\psi=0$), hay que ignorar el término$\nabla_b\nabla^b C^a$así como el término del tensor de Ricci. Los detalles que faltan se pueden encontrar en [1], secciones 4.2 y 4.3. Esta aproximación se llama aproximación óptica geométrica.

Árbitro. [2] da las siguientes longitudes características para la óptica de rayos (sección 2.8):

1. la longitud de onda$\lambda$.

2. La longitud típica$L$sobre el cual la amplitud, la polarización y la longitud de onda de la onda varían significativamente.

3. Un "radio de curvatura" típico, que puede tomarse como

   $$R:=\lvert\text{typical component of the Riemann tensor in a typical local inertial system}\rvert^{-1/2}$$

La región de validez para la óptica geométrica es entonces$\lambda\ll L$y$\lambda \ll R$.

Pregunta:

Dado que uno debe ignorar los términos del análisis anterior, ¿no siguen los rayos de luz geodésicas nulas en GR? Es$\mathrm{d}\psi$incluso nulo? Además, ¿cómo se comportan las soluciones ondulatorias de las ecuaciones de Maxwell en escalas de longitud mayores que las dadas en [2] (es decir, en escalas de longitud donde la curvatura de$\mathcal{M}$puede variar grande y rápidamente). En particular, ¿en qué medida viajan a lo largo de geodésicas nulas?

Tenga en cuenta: el argumento de que las partículas sin masa viajan a lo largo de geodésicas nulas en el espacio plano, por lo que lo mismo debe ser cierto (según el principio de equivalencia) en el espacio curvo no es una respuesta a esta pregunta. Estoy preguntando acerca de las soluciones ondulatorias de las ecuaciones de Maxwell. La luz, clásicamente, es solo una solución de onda de las ecuaciones de Maxwell del vacío. Cualquier respuesta debe incluir (o hacer referencia) a un análisis riguroso de las ecuaciones de Maxwell. Esta no es una pregunta que pueda responderse bien declarando algunas ecuaciones que todos conocen y minuciosamente las palabras en el OP. (Aparentemente, un miembro del sitio no tuvo esta impresión, así que lo dejo más claro).

Referencias:

[1] Wald, RM Relatividad General. Prensa de la Universidad de Chicago, 1984.

[2] Straumann, N. Relatividad General. Springer, 2013.