Consistencia en los Fundamentos de Geometría de Hilbert

Después de leer la entrada en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford sobre la correspondencia de Hilbert y Frege con respecto a los Fundamentos de la geometría del primero , estoy bastante desconcertado por una afirmación que hace el autor del artículo en la página 7. Allí, ella escribe que el siguiente par de oraciones es “demostrablemente consistente en el sentido de Hilbert”:

  • El punto B se encuentra en una línea entre los puntos A y C.
  • El punto B no se encuentra en una línea entre los puntos C y A

Todavía no he tenido la oportunidad de leer el trabajo original de Hilbert sobre este tema, pero me parece inverosímil que estas dos afirmaciones no impliquen una contradicción en su sistema formal. Sería muy apreciado si alguien puede aclarar si de hecho estoy equivocado acerca de esto.

¿Por qué esto produciría una contradicción? Estos son enunciados equivalentes en la Geometría Euclidiana (en cualquier teoría de fondo razonable, por ejemplo, ZF+C), y el trabajo de Hilbert fue una axiomización minimalista de la Geometría Euclidiana...
@BrevanEllefsen Bueno, ¡ese es un error vergonzoso en mi primera publicación en este sitio! La segunda afirmación fue una cita incorrecta y pretendía ser "el punto B no se encuentra en una línea entre los puntos C y A". He editado la pregunta en consecuencia. Gracias por traer esto a mi atención.

Respuestas (1)

Uno de los puntos clave de la llamada controversia Frege-Hilbert fue el uso que hizo Hilbert del método de las "interpretaciones alternativas" para probar resultados de consistencia e independencia.

Para Frege, una teoría matemática tiene un significado: la interpretación pretendida, mientras que para Hilbert un "sistema formal" debe desarrollarse sin considerar la interpretación pretendida.

“La idea central de la interpretación alternativa es que, para Frege, la cuestión de si un pensamiento determinado está lógicamente relacionado con una colección de pensamientos es sensible no solo a la estructura formal de las oraciones utilizadas para expresar esos pensamientos, sino también al contenido de los mismos. los términos simples (por ejemplo, geométricos) que aparecen en esas oraciones".

En pocas palabras: si "entre" no se lee como entre , y se trata como una relación binaria, sin más axiomas no tenemos derecho a afirmar que la relación es simétrica .

En términos formales, R ( A , C , B ) y ¬ R ( A , C , B ) son contradictorios, mientras que R ( A , C , B ) y ¬ R ( C , A , B ) no son.

Muchas gracias por tu respuesta. Lo que encuentro desconcertante es cómo cualquier interpretación de "se encuentra entre", ya sea estándar o no estándar, podría satisfacer simultáneamente los axiomas de Euclides tal como los formalizó Hilbert y las dos oraciones que cité anteriormente. Entiendo que, tomado aisladamente, R ( A , C , B ) ∧ ¬ R ( C , A , B ) no tiene por qué ser contradictorio; sin embargo, desde R ( A , C , B ) ∧ R ( C , A , B ) presumiblemente se puede deducir de los axiomas de Euclides, ¿cómo podría cualquier modelo de geometría euclidiana satisfacer R ( A , C , B ) ∧ ¬ R ( C , A , B ) ? Aquí es donde no veo cómo estas dos oraciones son consistentes.
@MenanderI: sí, se puede deducir; véanse los axiomas de Hilbert para Geometría: Orden : la "simetría" es un axioma (II.1).
¿Qué pasa con una "interpretación alternativa"? No es fácil: las relaciones ternarias no son comunes... Pero podemos imaginar algo usando "relaciones parentales": el hermano de la esposa no es el hermano del esposo.
¿Quizás el comentario del autor sobre la consistencia se estaba haciendo sobre las relaciones en general? Sin embargo, esto no es lo que aparece en el artículo. Eso R ( A , C , B ) y ¬ R ( C , A , B ) podría ser consistente para una relación genérica R no es lo mismo que estos sean consistentes cuando R es la relación que aparece en la axiomatización de la geometría euclidiana de Hilbert, sin embargo, finalmente se interpreta en un modelo. Por lo tanto, realmente no veo cómo esto identifica una falla fundamental en la prueba de consistencia de Hilbert, que es lo que se afirma en el artículo de SEP.
@MenanderI: ¿por qué un "defecto en la prueba de consistencia de Hilbert"? No hay ninguno... El enfoque de Hilbert es mostrar la consistencia (relativa) a través de un modelo: para la geometría euclidiana, un modelo basado en reales (geometría analítica). La técnica del "modelo alternativo" es necesaria para la independencia : el ejemplo sobre geometrías no euclidianas muestra que el postulado paralelo es independiente de los axiomas restantes de Euclides. Por supuesto, la línea en el plano no euclidiano no es lo que Euclides (y nosotros) teníamos en mente con "línea" (pero, sin embargo, es consistente con lo que dicen los otros axiomas y definiciones de Euclides sobre las líneas).
Tal vez entendí mal algo que Hilbert o Frege (o ambos) realmente escribieron. De los resúmenes que he leído, la prueba de consistencia es completamente convincente y personalmente no veo ningún defecto en ella. Pero parece que la objeción de Frege fue que la prueba de consistencia teórico-modelo es ilegítima porque los teoremas de Euclides sobre "puntos" y "líneas" por un lado, y la reinterpretación de Hilbert de estos en el plano real por otro lado, no expresan la mismos “pensamientos”, y la consistencia de uno no implica la consistencia del otro. Un argumento dudoso en mi opinión...
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