Las ecuaciones de movimiento de Hamilton sobre el formalismo de Dirac

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Las ecuaciones de movimiento de Hamilton sobre el formalismo de Dirac

Física
teoría de campo
electromagnetismo
dinámica restringida
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

GaloisFan

Tengo varias dudas sobre el procedimiento propuesto por el algoritmo de Dirac-Bergmann para obtener las ecuaciones correctas de movimiento de la electrodinámica (ecuaciones de Maxwell).

Supongamos que ya he encontrado la restricción principal, $\pi^0 \approx 0$ , el secundario, $\partial_i \pi^i - j^0 \approx 0$ , y verificó que no surgieran más condiciones independientes o inconsistentes, y verificó que ambas restricciones son de primera clase.

Después de eso, estoy confundido acerca de un montón de cosas. Tal vez sea mejor que describa lo que estoy haciendo. Entonces, acoplé ambas restricciones a la densidad hamiltoniana a través de multiplicadores:

H_{mi X t} = \frac{1}{4} F_{i j} F^{i j} - \frac{1}{2} π_{i} π^{i} - A_{0} \partial_{i} π^{i} + j^{m} A_{m} + λ_{1} π^{0} + λ_{2} \partial_{i} π^{i}

$\begin{equation} \mathcal{H}_{ext}=\frac{1}{4}F_{ij}F^{ij}-\frac{1}{2}\pi_i \pi^i -A_0\partial_i \pi^i + j^{\mu} A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0 + \lambda_2 \partial_i \pi^i \end{equation}$

dónde $F^{ij}$ es el tensor electromagnético habitual, $A_{\mu}=(V,\vec{A})$ , $j^{\mu}=(\rho,\vec{j})$ y $\pi^\mu$ el momento canónico conjugado a $A_\mu$ . Luego procedí a buscar el EOM:

\dot{π^{ω}} = {π^{ω}, H_{mi X t}} = - \frac{d H_{mi X t}}{d A_{ω}} = \partial_{i} \frac{\partial H}{\partial (\partial_{i} A_{ω})} - \frac{\partial H}{\partial A_{ω}}

$\begin{equation} \dot{\pi^{\omega}}=\{\pi^{\omega},H_{ext}\}=-\frac{\delta H_{ext}}{\delta A_{\omega}}=\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i A_{\omega})}-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial A_{\omega}} \\ \end{equation}$

\dot{A_{ω}} = {A_{ω}, H_{mi X t}} = \frac{d H_{mi X t}}{d π^{ω}} = \frac{\partial H}{\partial π^{ω}} - \partial_{i} \frac{\partial H}{\partial (\partial_{i} π^{ω})}

$\begin{equation} \dot{A_{\omega}}=\{A_{\omega},H_{ext}\}=\frac{\delta H_{ext}}{\delta \pi^{\omega}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \pi^{\omega}}-\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i \pi^{\omega})} \end{equation}$

donde la segunda igualdad proviene trivialmente de la (evaluación de la) definición del corchete de Poisson. Haciendo los calculos me sale lo siguiente

\begin{aligned} \dot{π^{0}} & = \partial_{i} F^{i 0} + \partial_{i} π^{i} - j^{0} \to \partial_{i} F^{i 0} \approx 0 \\ \dot{π^{k}} & = \partial_{i} F^{i k} - j^{k} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\pi^{0}}&=\partial_i F^{i0}+\partial_i \pi^i -j^0 \to \partial_i F^{i0} \approx 0 \\ \dot{\pi^k}&=\partial_i F^{ik}-j^k \end{align}$

y

\begin{aligned} \dot{A_{0}} & = λ_{1} - π_{0} + \partial_{0} A_{0} - \partial_{0} λ_{2} \to \dot{A_{0}} \approx λ_{1} + \partial_{0} A_{0} - \partial_{0} λ_{2} \\ \dot{A_{i}} & = \partial_{i} A_{0} - π_{i} - \partial_{i} λ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{A_0}&=\lambda_1-\pi_0+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2 \to \dot{A_0}\approx\lambda_1+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2\\ \dot{A_i}&=\partial_i A_0 -\pi_i-\partial_i \lambda_2 \end{align}$

Entonces, mis dudas:

(1) Supongo que mis cálculos son incorrectos porque no soy capaz de reconocer las ecuaciones de Maxwell no homogéneas en mis resultados como (creo) debería ( $\partial_{\mu}F^{\mu \nu}=j^{\nu}$ ), y no puedo encontrar el error.

(2) Aunque sé que esto es parte de los fundamentos de la teoría, no sé si debo usar el hamiltoniano con solo las restricciones primarias (como dice mi dudoso orientador) acopladas, o con todas las de primera clase acopladas o incluso con el hamiltoniano extendido completo (como indiqué aquí y en este caso coincide con el caso que tiene todas las restricciones de primera clase acopladas), y, por supuesto, no sé la razón por la cual el caso correcto es correcto. No puedo darme cuenta de esto a partir de los libros de texto que tratan el tema de la manera matricial 'todo en uno'.

Sé que la forma correcta de entender estos comentarios sería retroceder un poco y comenzar de nuevo (incluso desde los temas de requisitos previos) para asimilar la teoría hasta que esté cerca de ser intuitiva, pero lo he estado haciendo exhaustivamente y obteniendo solo más confundido.

Respuestas (1)

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton sobre el formalismo de Dirac

una mente curiosa · Answer 1

Es, a priori, completamente correcto agregar restricciones primarias y secundarias a la densidad hamiltoniana mediante multiplicadores de Lagrange. Lo que no es correcto es cómo determinaste las ecuaciones de movimiento:

no hay " $F^{i0}$ " en la teoría hamiltoniana! Se llama $\pi^i$ allí y no depende de $\partial_i A_0$ , es una variable canónica independiente! no se como conseguiste el $F^{i0}$ en tu expresión para $\dot{\pi}^0$ , pero no está allí. La ecuación correcta de movimiento es solo la restricción secundaria. $\begin{matrix} (1a) & {\dot{π}}^{0} = \partial_{i} π^{i} - j^{0} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^0 = \partial_i \pi^i - j^0\tag{1a}$
La ecuación del movimiento $\begin{matrix} (1b) & {\dot{π}}^{k} = \partial_{i} F^{i k} - j^{k} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^k = \partial_i F^{ik}\tag{1b} - j^k$ es correcto.
La ecuación de movimiento para $A_0$ es solo $\begin{matrix} (1c) & {\dot{A}}_{0} = λ_{1} \end{matrix}$ $\dot{A}_0 = \lambda_1\tag{1c}$ y no sé de dónde vienen tus otros términos. El único término en el hamiltoniano que depende de $\pi^0$ es $\lambda_1\pi^0$ , y ningún término depende de $\partial_i \pi^0$ .
La ecuación de movimiento para $A_i$ , $\begin{matrix} (1d) & {\dot{A}}_{i} = - π_{i} + \partial_{i} A_{0} - \partial_{i} λ_{2} \end{matrix}$ $\dot{A}_i = -\pi_i + \partial_i A_0 - \partial_i \lambda_2 \tag{1d}$ es correcto.

Las ecuaciones de Maxwell ahora se obtienen de la siguiente manera:

identificando $E^i = -\pi^i$ , vemos eso $\nabla\cdot E = \rho$ no es una ecuación de movimiento para $A$ o $\pi$ , pero una restricción o la ecuación de movimiento para $\lambda_2$ , El que tu prefieras. En particular, la ec. (1a) no tiene contenido dinámico.
identificando $B_i \propto \epsilon_{ijk}F^{jk}$ , ecuación (1b) es $\nabla\times B - \dot{E} = j$ .
ecuación (1c) no tiene contenido dinámico, ya que solo involucra multiplicadores de Lagrange. Podemos hacer la elección del calibre. $\lambda_1 = 0$ hacer $A_0$ constante en el tiempo.
ecuación (1d) se convierte en $\pi_i = \partial_i A_0 - \dot{A}_i$ sobre la elección del calibre $\lambda_2 = 0$ , que es simplemente la ecuación $E = \nabla\phi -\partial_t A$ .

Si te estás preguntando adónde fue la otra mitad de las ecuaciones de Maxwell, está en la definición de la $F$ ! Ambos $\nabla\cdot B = 0$ y $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ son consecuencias directas de definir $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , ya que de esto se sigue que $\partial_\sigma \epsilon^{\sigma\rho\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0$ . $\sigma = 0$ da $\nabla\cdot B = 0$ y $\sigma = i$ da el $i$ -ésimo componente de $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ .

¡Estás absolutamente en lo correcto! Ignoraba, en mis cálculos, el índice latino de los tensores electromagnéticos. Y tu explicación fue impecable! ¡Gracias!

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GaloisFan

Respuestas (1)

una mente curiosa

GaloisFan

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