Lagrangiano bajo transformación de tiempo

Question

Lagrangiano bajo transformación de tiempo

sbp

Dado un Lagrangiano
$L (q, \dot{q}, t) = \sum_{i j} a_{i j} (q) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} - V (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{F})$ $L(q,\dot{q},t)=\sum_{ij}a_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j-V(q_1,q_2,\cdots,q_f)$ demostrar que bajo una transformación de tiempo $t=\lambda T$ ( $\lambda$ = constante), la invariancia de $\int_1^2Ldt$ , con respecto a la variación de $\lambda$ implica que la energía es cero.

Mi trabajo:

Básicamente necesito calcular la variación, así que hice esto,

d \int_{1}^{2} L (q, \dot{q}, t) d t = d \int_{1}^{2} L (q, λ^{- 1} \dot{q}, λ T) λ d T .

$\delta \int_1^2 L(q,\dot{q},t)dt = \delta \int_1^2 L(q,\lambda^{-1}\dot{q},\lambda T) \lambda dT.$ Ahora desde aquí, ¿cómo procedo?

fénix87

Esta es una consecuencia del teorema de la función homogénea de Euler en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function#Positive_homogeneity

sbp

@ Phoenix87 ¿Podría ser más específico? No puedo relacionar los dos.

qmecanico

¿De qué fuente es el problema? ¿Qué página?

sbp

@Qmechanic: Es de este libro, google.com/search?hl=en&as_q=rana+joag+classical+mechanics Problema n.° 6.5. Supongo que no obtendrá una copia en PDF de esto en línea.

fénix87

sabes que el lagrangiano que te dan es una función con la propiedad

f (x, λ \dot{x}, λ t) = λ f (x, \dot{x}, t)

$f(x,\lambda \dot x, \lambda t) = \lambda f(x,\dot x, t)$

Respuestas (1)

Lagrangiano bajo transformación de tiempo

Esta es una consecuencia del teorema de la función homogénea de Euler en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function#Positive_homogeneity
@ Phoenix87 ¿Podría ser más específico? No puedo relacionar los dos.
@Qmechanic: Es de este libro, google.com/search?hl=en&as_q=rana+joag+classical+mechanics Problema n.° 6.5. Supongo que no obtendrá una copia en PDF de esto en línea.
sabes que el lagrangiano que te dan es una función con la propiedad $f(x,\lambda \dot x, \lambda t) = \lambda f(x,\dot x, t)$

qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

Usa el teorema de Noether dos veces.
Dado que no existe una dependencia temporal explícita, la función de energía $h:=\dot{q}^i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}-L$ es una constante de movimiento.
El cargo de Noether por la dilatación del tiempo es el producto $Q=th$ de tiempo y energía.
Desde el cargo de Noether $Q$ es una constante de movimiento, la energía $h$ debe ser cero.

Es cierto que el problema 6.5 en Rana & Joag parece algo artificial, aparentemente construido únicamente para hacer un problema de clase sobre el teorema de Noether.

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Constantes de movimiento de un Lagrangiano

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Condición de que la función de energía lagrangiana h≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh≡∑i∂L∂q˙iq˙i−Lh\equiv\sum_i\frac{\parcial L}{\parcial\dot q_i }\dot q_i-L sería igual a la energía mecánica EEE

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