Lagrangiano a Hamiltoniano en Teoría Cuántica de Campos

Question

Lagrangiano a Hamiltoniano en Teoría Cuántica de Campos

Jaswin

Al derivar el hamiltoniano de la densidad lagrangiana, usamos la fórmula
$H = π \dot{ϕ} - L .$ $\mathcal{H} ~=~ \pi \dot{\phi} - \mathcal{L}.$ Pero dado que estamos considerando el espacio y el tiempo como parámetros, ¿por qué la fórmula $H = π_{m} \partial^{m} ϕ - L$ $\mathcal{H} ~=~ \pi_{\mu}\partial^{\mu} \phi - \mathcal{L}$ no se usa?
¿Hay algún libro/apuntes de conferencias en particular que traten este tipo de cuestiones de física teórica? Me encantaría conocerlos.

Respuestas (4)

Lagrangiano a Hamiltoniano en Teoría Cuántica de Campos

Motl de Luboš · Answer 1

La respuesta de Vladimir tiene la esencia correcta pero también es engañosa, así que permítanme aclarar.

La formula

H = \sum_{i} {pags}_{i} {\dot{q}}_{i} - L

$H = \sum_i p_i\dot q_i - L$ relacionar el hamiltoniano y el lagrangiano es completamente general. Se mantiene en todas las teorías que admiten tanto lagrangianos como hamiltonianos, sean relativistas o no, tengan o no otra simetría además de la simetría de Lorentz.

Cuando se tiene la teoría de campos, tanto el hamiltoniano como el lagrangiano se pueden escribir como integrales espaciales de sus densidades.

H = \int d^{3} X H, L = \int d^{3} X L

$H = \int d^3x \, {\mathcal H}, \quad L = \int d^3x\, {\mathcal L}$ Combinando eso con la primera fórmula, obtenemos la relación

H = \sum_{i} π_{i} \dot{ϕ_{i}} - L

$\mathcal{H} = \sum_i\pi_i \dot{\phi_i} - \mathcal{L}$ Ahora, usted propuso una fórmula diferente y supongo que la razón por la que la propuso es que le parece más invariante de Lorentz, apropiada para las teorías de campos invariantes de Lorentz. Esa es una buena motivación.

Sin embargo, lo que está mal en su razonamiento es la suposición de que tanto la densidad hamiltoniana como la densidad lagrangiana son invariantes de Lorentz. Si bien la densidad lagrangiana es un buen escalar, por lo que es invariante de Lorentz (la densidad en el origen, al menos), y es porque su integral es la acción invariante de Lorentz que debería ser estacionaria, lo mismo no es cierto para el hamiltoniano y su densidad.

El hamiltoniano está intrínsecamente ligado a la dirección del tiempo: es el generador de las traslaciones en el tiempo (las contrapartes espaciales del hamiltoniano son los componentes espaciales del impulso); es la energía, el componente 0 de un vector de 4, $H\equiv p^0$ . Entonces, el argumento de que esta fórmula debería ser covariante de Lorentz no es válido, su fórmula propuesta es incorrecta y la fórmula correcta se justificó al comienzo de mi comentario.

Gracias por una respuesta elaborada. ¿Puedes decir más sobre las ecuaciones de movimiento? Cuando vamos a la densidad lagrangiana, las ecuaciones de movimiento siguen siendo las ecuaciones de Euler Lagrange, solo que ahora son para la densidad lagrangiana en lugar de la lagrangiana. ¿Qué pasaría con las ecuaciones de movimiento de Hamilton cuando pasemos a la densidad hamiltoniana?
Como escribí, si existe la densidad hamiltoniana, el hamiltoniano completo es una integral de su densidad en el espacio. Hay infinitas coordenadas e infinitos momentos, uno o varios de ellos en cada punto del espacio. En otras palabras, son campos, por eso se llaman $\phi_i(x,y,z),\pi_i(x,y,z)$ en lugar de solo $q_i,p_i$ . Las ecuaciones hamiltonianas de movimiento siguen siendo las mismas y usan la misma $H$ . El jamón. la densidad en el mismo punto no es suficiente para esas ecuaciones. Para obtener más datos y ejemplos, consulte en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory
"las contrapartes espaciales del hamiltoniano son los componentes espaciales del impulso" ¿Significa esto que: $\partial_{X} ϕ \frac{\partial L}{\partial \partial_{X} ϕ} - L$ $\partial_x \phi \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_x \phi} - \mathcal{L}$ es la componente x de la cantidad de movimiento?
Hola, básicamente sí, pero aquí debes entender que tratas con la teoría de campos (y la densidad lagrangiana), por lo que la energía y el impulso se describen localmente mediante un tensor, el tensor de energía de estrés, consulta en.wikipedia.org/wiki/… Es llamó $T_{\mu\nu}$ y tiene dos índices, uno es qué componente del vector consideras, y el otro te dice si es la densidad (0) o un componente de corriente/flujo (x, y, z) de esa cosa conservada. Pero si los signos son correctos, lo que escribiste es de hecho $T_{xx}$ , un componente del tensor de energía de tensión.

qmecanico · Answer 2

Lubos Motl y Vladimir Kalitvianski ya han proporcionado respuestas convencionales correctas sobre la transformación de Legendre del formalismo lagrangiano al hamiltoniano.

Sin embargo, parece apropiado mencionar que la segunda ecuación de OP (v2)

H = π_{m} \partial^{m} ϕ - L

$\mathcal{H} ~=~ \pi_{\mu}\partial^{\mu} \phi - \mathcal{L}$

es precisamente el punto de partida de la teoría de De Donder-Weyl , que introduce los polimomentos.

Con respecto al formalismo hamiltoniano manifiestamente covariante, véase también, por ejemplo, Ref. 1 y esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

C. Crnkovic y E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en teorías geométricas. Publicado en Trescientos años de gravitación (Eds. SW Hawking y W. Israel), (1987) 676.

Si nos quedamos en el marco de una teoría estándar, cualquier operador de Heisenberg $F$ obedece a las siguientes ecuaciones incluyendo no sólo $H=P^0$ , sino también los otros componentes del cuatro vector de energía-momento $P^\mu$ : $\frac{\partial F}{\partial x_\mu}=i[F,P^\mu]$ .

Vladímir Kalitvianski · Answer 3

El tiempo juega un papel particular, incluso en la relatividad. Las coordenadas de tiempo y espacio ("longitudes") no son intercambiables. En otras palabras, no existe una simetría completa entre ellos a pesar de que pueden transformarse juntos. Entonces aplicamos una fórmula habitual para construir un hamiltoniano si se conoce el lagrangiano correspondiente.

Por cierto, el formalismo hamiltoniano en QFT es tan invariante relativista como el formalismo lagrangiano; el primero simplemente no es invariante manifiesto contrario al segundo.

Esto es correcto pero engañoso para un principiante como el OP.

Krastanov · Answer 4

Otra referencia a tal enfoque (un artículo breve):

Mecánica hamiltoniana de campos RH Good, Jr. Departamento de Física, Universidad de California, Berkeley, California Link

del resumen:

En la mecánica relativista de campos, normalmente se introduce la derivada temporal de una componente de campo como su velocidad y la derivada parcial de la densidad lagrangiana con respecto a la velocidad como su cantidad de movimiento canónicamente conjugada. Para tratar el tiempo y el espacio de manera equivalente, Born y Weyl una vez trataron las cuatro derivadas espacio-temporales de un componente de campo como cuatro velocidades e introdujeron las cuatro derivadas parciales de la densidad lagrangiana con respecto a las velocidades como cuatro momentos. En el presente artículo, esta idea se lleva más allá para introducir las generalizaciones de las ideas de la mecánica de puntos de las ecuaciones hamiltonianas, corchetes de Lagrange, corchetes de Poisson e integrales de movimiento.

Lagrangiano a Hamiltoniano en Teoría Cuántica de Campos

Jaswin

Respuestas (4)

Motl de Luboš

Un gato

Motl de Luboš

Habuz

Motl de Luboš

qmecanico

Vladímir Kalitvianski

Vladímir Kalitvianski

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Krastanov

¿Por qué usamos la ecuación de Euler-Lagrange para campos cuánticos?

Formalismo canónico en coordenadas de cono de luz

Construcción de Lagrangiano a partir de Hamiltoniano para fermiones de Majorana

¿Cómo se transforma un lagrangiano con potencial delta en un hamiltoniano?

Evolución de Schrödinger para una ecuación de Klein-Gordon

Pregunta sobre la derivación lagrangiana de primer orden en el formalismo de Faddeev-Jackiw

¿Por qué se prefiere el enfoque lagrangiano al enfoque hamiltoniano en QFT? [duplicar]

Restricciones de las ecuaciones de campo hamiltonianas

¿Por qué la teoría cuántica de campos usa lagrangianos en lugar de hamiltonianos? [duplicar]

Encontrar los operadores de creación/aniquilación