¿La transferencia de calor ocurre instantáneamente en un cristal armónico perfecto?

Un cristal armónico perfecto (PHC) tiene una conductividad térmica infinita (ver aquí por ejemplo, o también (1)).

¿Significa esto que en un PHC hay transferencia de calor instantánea?

La ley de Fourier parecería sugerir que este es el caso, ya que cuando la conductividad térmica es infinita, la derivada temporal del calor explota. Sin embargo, no sé cuán fielmente describe esta ecuación la propagación del calor, incluso en un sistema idealizado como un PHC.

Si la conductividad térmica infinita realmente implica una propagación instantánea del calor, esto me molesta un poco, incluso si sé que la PHC es una idealización. Lo que me molesta es que en mi opinión incluso en un PHC se necesita un tiempo para que la vibración se propague, y por lo tanto me parece absurdo que la propagación del calor sea infinita.

Para ser más claro, lo que estoy imaginando es esto: tomo un PHC inmóvil (sin vibraciones... aquí estamos considerando el modelo clásico), y le imparto impulso a un grupo finito de átomos, haciéndolos vibrar. ¿Esta vibración se propagará instantáneamente en todo el sistema?

Note que evité hablar de temperatura, ya que una temperatura no se puede definir en un PHC, porque el sistema nunca se puede termalizar (1).

(1)

Desde el trabajo de Born y Debye, se sabe que el modelo idealizado, con fuerzas armónicas entre átomos, es inútil para una investigación de la conductividad térmica, ya que conduciría a una conductividad infinitamente grande .

Porque en el modelo con fuerzas armónicas [...] uno puede pensar en los movimientos de los átomos como construidos a partir de ondas sonoras mutuamente independientes. Una vez que exista una distribución de energía arbitraria de estas vibraciones, existirá para siempre. Entonces no se establecerá un equilibrio térmico y, en general, no se puede hablar de una temperatura en absoluto.

- R. Peierls, “Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen” Ann. física 395, 1055–1101 (1929)

Sobre la base de su cita sobre la termalización, en un PHC, las excitaciones elementales son modos de Fourier, completamente deslocalizados en todo el cristal, entonces, ¿cómo va a hablar de una "distribución de energía local" y si no puede hablar de energía en un local? ¿Cómo te sorprende que tengas una conductividad térmica infinita?
@BySymmetry Me estoy imaginando esto: tomo un cristal perfecto que está "inmóvil" (sin vibración) e imparto impulso a una cierta cantidad de átomos. ¿La vibración resultante se propagará instantáneamente en todo el sistema? Actualizaré la pregunta para aclarar.
@ valerio92- Incluso en el cristal perfectamente armónico, la excitación inicialmente localizada (que definitivamente es posible, ¡como puede ver en una expansión de Fourier!) No se propagará instantáneamente a través de todo el sistema. Piense sólo en las ramas acústicas de las vibraciones de la red. Se propagan como máximo con la velocidad del sonido a través del cristal.
Una conductividad de calor infinita no conduce a una propagación instantánea. Por analogía, una conductividad eléctrica infinita, como la que se da (a todos los efectos prácticos) en los superconductores, no significa que la corriente se propague instantáneamente.
@Rococo Entonces, la siguiente pregunta sería: ¿cómo la ley de Fourier (o la ley de Ohm en un conductor eléctrico) no describe exactamente la conducción de calor en un PHC? Porque en la ley de Fourier/Ohm, una conductividad infinita parece implicar una propagación instantánea de calor/corriente.

Respuestas (3)

¡Incluso en un cristal perfectamente armónico, una excitación inicialmente localizada de los átomos desde su posición de equilibrio no se propagará instantáneamente a través del sistema! Si observa las ramas acústicas de la relación de dispersión de la oscilación del cristal, verá que la velocidad de propagación más rápida de cualquier perturbación será la velocidad del sonido (longitudinal o transversal).

Esto tiene sentido para mi. Entonces, ¿cómo es que la ley de Fourier no logra describir la conducción de calor en un PHC? Allí, una conductividad térmica infinita parece implicar una propagación instantánea del calor.
@ valerio92: ya mencionó la razón por la cual la ley de Fourier tiene que fallar en un cristal perfectamente armónico: ¡no puede definir una temperatura y, por lo tanto, tampoco un gradiente de temperatura! Además, la ley de Fourier también requiere que el material, donde tiene lugar la conducción de calor, pueda describirse como que tiene un "equilibrio térmico local" y, por lo tanto, también una temperatura local. Esto es definitivamente imposible en un cristal perfectamente armónico.
@freecharly, definitivamente puedes definir una temperatura para un cristal perfectamente armónico, ¡de la misma manera que puedes definir una temperatura para el oscilador armónico! Sin embargo, los gradientes de temperatura son un asunto completamente diferente. Sin amortiguación de fonones (a través de efectos de tercer orden, por ejemplo), una diferencia térmica siempre se propagará a lo largo de toda la red sin ningún problema, y ​​obtendrá una sola temperatura en todas partes en el límite de equilibrio. Por supuesto, obtendrá transitorios para escalas de tiempo y longitud pequeñas en comparación con la velocidad máxima de fonones.
Por supuesto... bastante estúpido de mi parte por no darme cuenta de esto.
@ valerio92: por supuesto, puede imponer una distribución de equilibrio de Bose-Einstein de los fonones con una temperatura determinada como condición inicial. Según tengo entendido, en un cristal perfectamente armónico, no hay interacción (dispersión) entre los fonones ni amortiguación. Por lo tanto, cualquier distribución inicial de no equilibrio no se "termalizará" a una distribución de equilibrio con una temperatura. Eso es también lo que se dice en la cita anterior de Peierls.

Supongamos que tiene un entramado 1D de canciones con espaciado a y un átomo por celda unitaria. Supongamos además la aproximación armónica.

Si simula calor desplazando un solo átomo, la onda resultante de este desplazamiento excitará fonones de todos los vectores de onda. k . Esto se debe a que está comenzando esencialmente con una función delta en el espacio o, de manera equivalente, algo que es uniforme en el espacio del vector de onda.

La relación de dispersión para fonones en una cadena 1D es ω ( k ) = 2 ω 0 | s i norte ( k a / 2 ) | lo que implica d ω d k = a ω 0 C o s ( k a / 2 ) . Esto significa que la mayor velocidad de fonones es a ω 0 , no infinito.

Mi opinión sobre esto es que realmente no veo una forma de asignar una velocidad a la propagación del calor porque la temperatura ni siquiera está definida, como afirma Peierls. Así que esta sería mi respuesta, y la publico como complemento a las ya dos magníficas respuestas publicadas por @freecharly y @user157879.

Sin embargo, aquí hay algunos comentarios:

  • Creo que puede tener un malentendido con la conductividad térmica. k y la velocidad a la que se propaga el calor. En la ecuación regular del calor conductivo ∂ T ∂ t = ∇ ⋅ k ∇ T , la velocidad a la que se propaga el calor es infinita. Hay varias formas de ver esto. Una forma es resolver la ecuación para una configuración particular (es decir, condiciones de contorno y condición inicial). Te darás cuenta de que la solución tiene una dependencia temporal no retardada. En otras palabras, la temperatura variará instantáneamente debido a una fuente, independientemente de la distancia entre la fuente y el punto considerado. Esto es válido independientemente del valor de k , tan claramente k no es el responsable de la velocidad de propagación del calor.

  • Cuanto mayor es la conductividad térmica, mayor es la cantidad de calor que se propaga. No el más rápido, donde la velocidad se piensa en la distancia a la que se propaga la perturbación inicial, dividida por el tiempo. Ahora claro, uno puede definir una constante de difusividad e imaginar la difusión del calor a través del tiempo y un kappa mayor haría que un material pareciera termalizarse más rápido que un material con un kappa menor. Entonces, si uno define una velocidad de propagación del calor basada en el tiempo que un material se termaliza (donde el criterio para definir la termalización es subjetivo), de hecho, un infinito k estaría relacionado con una velocidad infinita debido a la termalización instantánea.

  • Por alguna razón, pareces enfocarte en los fonones como modo de transferencia de calor. En los metales, la conducción electrónica juega un papel importante. Entonces parece que estás tratando implícitamente con un cristal no metálico con tu pregunta como se indica.

  • QM no relativista, que se utiliza para describir el cristal armónico, no es invariante de Lorentz. Muchas veces no hay razón para esperar que las cosas tengan una velocidad de propagación finita en las teorías invariantes que no son de Lorentz. Tome el electrón libre, inicialmente localizado en alguna región. Un instante después (o digamos dt), no importa qué tan lejos esté uno de la región original, encontrará una función de onda que no desaparece. Esto significa que el electrón se puede encontrar a cualquier distancia grande arbitraria poco después de medirse para estar en una posición particular.
    Tomando la analogía de la conducción de calor con la conducción de electricidad, se encuentra una velocidad finita (y menor que c) a la cual la corriente y las ondas EM viajan en un material, independientemente del valor de la conductividad σ (que es análogo a k por conducción de calor). Tenga en cuenta que las ecuaciones de Maxwell que describen la propagación de ondas EM son invariantes de Lorentz, a diferencia de la ecuación de Schrödinger utilizada para describir el hamiltoniano de un cristal armónico y la ecuación del calor de conducción donde se aplica la ley de Fourier.

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