La Tierra como marco de referencia inercial: efectos de radio finito

¿Estas correcciones son distintas de la rotación de la Tierra (o realmente expresan lo mismo)?

La respuesta de Luboš Motl fue describir la contribución de la curvatura del espacio-tiempo como desviaciones del espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo plano siempre se puede encontrar un marco de referencia inercial global, y debido al hecho "garantizado automáticamente" que mencionó, sabemos que en el espacio-tiempo curvo siempre se puede encontrar un marco inercial local donde las desviaciones de la inercia son de segundo orden en el espacio y el tiempo.

Planitud significa que la gravedad es uniforme o está ausente. La curvatura del espacio-tiempo significa que la gravedad no es uniforme, que es la gravedad de las mareas. Cuanto más te alejas en el espacio-tiempo curvo, menos uniforme es la gravedad. Esto hace que las geodésicas espacialmente separadas se aceleren más entre sí que las geodésicas cercanas.

Luboš Motl cometió un error en su respuesta, y fue afirmar que las mayores contribuciones provienen de la luna y el sol. La fuente más grande de gravedad no uniforme cerca de la tierra es la tierra misma. Debido a la curvatura y al tamaño finito de la tierra, las geodésicas en lados opuestos de la tierra aceleran una hacia la otra a 2 g, lo que anula cualquier contribución de la luna o el sol. Es esta falta de uniformidad en la gravedad, esta curvatura del espacio-tiempo, lo que evita que la superficie de la tierra se expanda aunque esté acelerando hacia afuera a 1 g.

A medida que su región de interés cubre un área cada vez más grande, aumentan las desviaciones de la planitud. Entonces, en un laboratorio pequeño, podemos tratar los objetos en caída libre como inerciales. Si comienzan en reposo uno contra el otro, entonces se mantienen aproximadamente a la misma distancia. Sobre una gran región, como toda la tierra, eso no funciona. Los objetos en caída libre inicialmente en reposo no se mantienen a la misma distancia entre sí.

¿Pueden ser compensados ​​por la rotación de la Tierra?

No. No tienen nada que ver con la rotación de la tierra. Los efectos descritos anteriormente por mí y en la otra respuesta de Luboš Motl son para un objeto que no gira. La rotación de la Tierra produce un efecto adicional pero muy pequeño. He descuidado eso aquí.

¿Cuáles son las limitaciones en el tamaño/radio de la Tierra para hacer estas correcciones pequeñas (por ejemplo, en comparación con la fuerza de gravedad experimentada en la superficie)?

Básicamente, para que las correcciones de curvatura sean pequeñas, debe tener una región de espacio y tiempo lo suficientemente pequeña para que los objetos en reposo en caída libre no cambien apreciablemente sus distancias entre sí. Si su habitación es lo suficientemente pequeña como para que todo caiga en la misma dirección, entonces debería estar bien. Si tiene un laboratorio que se extiende por un continente, los objetos que caen en un lado del laboratorio acelerarán ligeramente hacia los objetos que caen en el otro lado del laboratorio.

¿Estas correcciones son distintas de la rotación de la Tierra (o realmente expresan lo mismo)? ¿Pueden ser compensados ​​por la rotación de la Tierra?

Son distintos y no pueden.

Como un claro ejemplo, considere las mareas de nuestros océanos. En un lugar del ecuador de la Tierra las mareas están subiendo y en otro están bajando. En el marco giratorio, la fuerza centrífuga es la misma a lo largo de todo el ecuador, por lo que no hay forma de atribuir este efecto a la rotación.

En la respuesta de Luboš, afirma que el centro de la Tierra se mueve a lo largo de la geodésica (es decir, es inercial), pero cuanto más lejos esté del centro, mayores serán los efectos no inerciales que experimentará. Estos efectos se deben al hecho de que dos geodésicas paralelas no permanecerán paralelas por mucho tiempo: hay una desviación geodésica. Entonces, si tenemos dos partículas en caída libre en las cercanías de la Tierra que son inicialmente paralelas (en una vista de cuatro dimensiones, el paralelismo 3D no es suficiente), comenzarán a alejarse o acercarse entre sí, al igual que en la figura 4 en esta página wiki . La fórmula para los efectos de las mareas se da en la página, junto con algunos valores.

Pero la cuestión es que estamos mezclando dos marcos. En GR, uno difícilmente podría considerar el marco inercial de la Tierra, ya que todo en la superficie de la Tierra se acelera hacia arriba con una aceleración bastante significativa. Todo ingeniero tiene esto en cuenta cuando construye un automóvil o un edificio, por lo que la única forma de interpretar la cuestión de si la Tierra es un marco inercial es en el marco de la gravedad newtoniana. Allí, las fuerzas de marea no se deben a que nuestro marco no sea inercial, sino a la interacción gravitatoria entre cuerpos. Desde este punto de vista, la Tierra puede considerarse inercial.

Pero sabemos que gira alrededor de su propio eje y alrededor del Sol. La rotación alrededor del eje hace que la superficie no sea inercial, como indicó correctamente en su respuesta. Si fijamos la rotación de nuestro marco por las estrellas distantes, entonces nos deshacemos de esto y la rotación alrededor del Sol producirá la mayor falta de inercia en nuestro marco.

En el marco newtoniano, los cuerpos en caída libre no se consideran inertes, sino acelerados. Sin embargo, por el principio de equivalencia sabemos que esta aceleración de los cuerpos en caída libre simula el marco de inercia con bastante precisión, solo debemos ignorar la fuerza gravitacional que gobierna la caída libre. En el marco newtoniano, para describir el movimiento de la Tierra alrededor del Sol en el marco de la Tierra, necesitaríamos calcular la fuerza gravitacional del Sol y la fuerza centrífuga de la no inercia de nuestro marco y llegamos a la conclusión de que se anulan entre sí. Esto es matemáticamente equivalente a afirmar que el marco de la Tierra en sus proximidades es inercial y no hay campo gravitatorio del Sol. De hecho, esto es lo que hacen los ingenieros. Asumen que la Tierra es un marco inercial y no se preocupan por la gravedad del Sol.

Dicho esto, el centro de la Tierra no se mueve en una geodésica, pero este es un efecto diferente al de las fuerzas de marea que describe Luboš. Esto surge debido al hecho de que cada partícula que constituye la Tierra trata de moverse sobre su propia geodésica, pero las fuerzas intermoleculares lo prohíben y el movimiento resultante podría llamarse un compromiso. Pero este es un efecto muy pequeño, probablemente ni siquiera valga la pena mencionarlo.