¿La teoría de matrices y el análisis funcional eran bien conocidos por los físicos antes de la invención de la mecánica de matrices?

Probablemente se pueda decir que las partes relevantes del álgebra eran "conocidas por los expertos", en lugar de "bien conocidas", y las partes relevantes del análisis funcional no existían en ese momento, consulte Axiomatization of Linear Algebra de Moore: 1875-1940 .

Incluso las matrices de dimensión finita todavía no eran exactamente un elemento de enseñanza estándar, aunque Cayley dio la definición de multiplicación de matrices y desarrolló una teoría espectral en la década de 1850, y Burali-Forti y Marcolongo publicaron un libro llamado Transformations Lineaires en 1912, que comienza con: " Nosotros expondrá brevemente los fundamentos de la teoría general de los sistemas lineales y los operadores lineales. Generalmente, estos asuntos son familiares en gran parte”. Las ideas comenzaron a filtrarse entre los físicos después del uso de tensores en la relatividad general de Einstein, y el libro de Weyl Space, Time and Matter (1918) incluso introduce espacios vectoriales axiomáticos, productos internos y transformaciones que conservan la congruencia en ellos. Que Born, quien en 1904 estudió en Göttingen con Hilbert y Minkowski y regresó allí en 1921, estaba familiarizado con las matrices y las transformaciones lineales, por lo tanto, no es sorprendente. Ni las rotaciones ni las transformaciones de Lorentz conmutan. Pero conectar la idea a matrices infinitas fue más analogía e intuición física que aplicar una teoría matemática establecida. Tampoco sorprende que el joven Heisenberg no estuviera familiarizado con él, su artículo de 1925 ni siquiera menciona matrices, ver Comprender el artículo 'mágico' de Heisenberg .

Hilbert introdujo el "espacio de Hilbert" en relación con las ecuaciones integrales a partir de 1904, pero sin tratarlas geométricamente. Schmidt en un capítulo "Geometría en un espacio de funciones" (1908) escribió " Por el significado geométrico de los conceptos y teoremas desarrollados en este capítulo, estoy agradecido a Kowalewski. Se destaca aún más claramente si$A(x)$se define, no como una función, sino como un vector en un espacio de infinitas dimensiones ". Riesz se acerca más en su libro (1913) sobre sistemas de ecuaciones lineales con infinitas variables, donde introduce la noción de base ortogonal. En 1920-1922 Hahn, Banach y Wiener introdujeron espacios lineales normados. Sin embargo, este trabajo no estudió mucho los operadores en espacios de dimensión infinita, y mucho menos los presentó como matrices infinitas. Tales temas solo emergen en los trabajos de von Neumann después de 1927, y fueron motivados por la mecánica cuántica.

Escuché una conferencia de Heisenberg una vez, hace mucho tiempo. (Una conferencia pública en el MIT a principios de la década de 1970).

Comentó que se le ocurrió un nuevo y extraño tipo de multiplicación (que no era conmutativa). Pero luego descubrió por sus colegas que los matemáticos ya lo habían estado usando durante 100 años. Si Heisenberg escribió memorias, presumiblemente esto también está ahí.

Así que esto es apoyo para el lado que dice que la multiplicación de matrices no era muy conocida por Heisenberg.

Si bien su recepción fue bastante lenta, entre los trabajos de Cayley de las décadas de 1840 y 1850 y el desarrollo mucho posterior de los espacios vectoriales y el análisis funcional, los matemáticos de finales del siglo XIX y principios del XX consideraron las matrices en relación con números complejos, cuaterniones, formas bilineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Los elementos de la teoría de matrices aparecieron en libros de texto avanzados y monografías. El libro ``Z historie linearni algebry" de Jind\v rich Be\v cva\vr (Matfyzpress, Praga, 2007) menciona, por ejemplo, lo siguiente que apareció antes de 1925:

Ernesto Pascal: Yo determinati. teoria ed aplicazioni (1897).

Eugen Otto Erwin Netto: Vorlesungen \"uber Algebra (1896); Elementare Algebra. Akademische Vorlesungen f\"ur Studierende der ersten Semester (1904); Mueren determinantes (1910).

Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra (segunda edición, 1898-1899).

Alfred North Whitehead: Tratado de álgebra universal (1898).

Leopold Kronecker: Vorlesungen \"uber die Theorie der Determinanten (1903).

Salvatore Pincherle: Lezioni di algebra complementare (1906-1909).

Maxime B\^ocher: Introducción al álgebra superior (1907).

Cuthbert Edmund Cullis: Matrices y determinoides (1913, 1918, 1925).

Leonard Eugen Dickson: Álgebras y su aritmética (1923).

En polaco, había un libro de texto académico de W\l adys\l aw Zaj\c aczkowski "Los principios del álgebra superior" (1884), que, entre otras cosas, presentaba la teoría de los determinantes y de las ecuaciones algebraicas. También hubo una gran cantidad de material en la monografía de J\'ozef Puzyna sobre funciones analíticas (1898, 1900), incluyendo resultantes y discriminantes, formas binarias y el grupo modular.

No era necesario ir a Goettingen para exponerse a la teoría de matrices antes de 1925 (aparentemente, tampoco era suficiente, Heisenberg estudió allí). De hecho, en su conferencia Nobel en 1954, "La interpretación estadística de la mecánica cuántica", Max Born declaró explícitamente:

``Esto fue en el verano de 1925. Heisenberg, aquejado de fiebre del heno, se ausentó para un curso de tratamiento junto al mar y me dio su trabajo para que lo publicara si pensaba que podía hacer algo con él. Inmediatamente me quedó claro el significado de la idea y envié el manuscrito al Zeitschrift f\"ur Physik. No podía apartar de mi mente la regla de multiplicación de Heisenberg, y después de una semana de intensos pensamientos y pruebas, de repente recordé una fórmula algebraica. teoría que había aprendido de mi maestro, el profesor [Jakob] Rosanes, en Breslau. Tales matrices cuadradas son bien conocidas por los matemáticos y, junto con una regla específica para la multiplicación, se llaman matrices ".

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf .

En ese momento, a los estudiantes de física normalmente no se les enseñaba álgebra lineal en Alemania, excepto cuando sus profesores tenían afinidad con este tema. El maestro de Max Born había sido Jacob Rosanes, algebrista, entre cuyos alumnos estaban Steinitz y Toeplitz. Heisenberg, por otro lado, había estudiado en Munich con Lindemann. Perron llegó a Munich recién en 1922, cuando Heisenberg casi había terminado sus estudios. Göttingen fue una excepción en Alemania, y Heisenberg declaró más tarde que había aprendido "el optimismo de Sommerfeld, la física de Bohr y las matemáticas en Göttingen".

Aquí hay un análisis del innovador artículo de Heisenberg de julio de 1925: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf

Y aquí hay entrevistas con Heisenberg y Born sobre esta época: https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4661-7 https://www.aip.org/history -programs/niels-bohr-library/oral-histories/4522-3

En Francia, antes de la reforma de 1958 de los estudios universitarios (plan de estudios nacional), el álgebra lineal no se enseñaba para el título de "licencia".

https://fr.wikipedia.org/wiki/Licence_(France)#1958-1966:_des_licences_moins_g.C3.A9n.C3.A9ralistes