¿La suposición de una selección débil?

Esta es mi opinión al respecto, sin experiencia en el uso de la serie de Taylor para analizar problemas de teoría de juegos evolutivos.

Como saben, la expansión de la serie de Taylor de$f(x)$en el punto$a$Se puede escribir como:

$f(x)= f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + ...$

A menudo, los factores por encima del segundo orden se eliminan como una simplificación. Sin embargo, para usar la expansión de Taylor, la función debe ser diferenciable en el punto$a$, y para ser derivable debe ser continua.

Como escribe @Artem Kaznatcheev en su pregunta, " ... con una selección débil, lo que significa que el juego modifica la aptitud general solo ligeramente... " y " ... es típico modelar organismos con una aptitud base que se modifica ligeramente por la interacción del juego... ". Estas afirmaciones implican que se puede suponer que la función/superficie de aptitud general es relativamente suave y continua (es decir, el pago es insignificante), lo que significa que se puede utilizar la expansión de la serie de Taylor. Si los beneficios del juego para un solo juego determinaran una gran proporción de la aptitud general, la superficie de aptitud sería discontinua.

Andre y Godelle (2006) (ver ecuación 20 y siguientes) dan un ejemplo en el que se usa una expansión de la serie de Taylor para simplificar la función de aptitud bajo una selección débil .

También puede encontrar interesante este suplemento de Nowak et al (2010) (un artículo bastante controvertido), especialmente la página 8.

Creo que en @fileunderwater proporciona una buena explicación de las matemáticas básicas detrás de esto y algunas buenas referencias. Me gustaría profundizar más en las decisiones de modelado y los beneficios de asumir una selección débil y por qué se hace en la literatura.

Cuando está haciendo modelos evolutivos, especialmente uno en la teoría de juegos evolutivos, el primer lugar es comenzar con un modelo de ecuaciones diferenciales de poblaciones no viscosas (esto generalmente significa que asume un tamaño de población muy grande). Estos modelos a menudo resultan en dinámicas de la forma$\dot{x}_i = x_if_i(\vec{x})$dónde$f_i$es una función no lineal correspondiente a la aptitud relativa pero donde la no linealidad depende de la fuerza de selección. Hacer un argumento de selección débil, a menudo le permite acercarse a la linealización$f_i$utilizando la expansión de Taylor . Esto reduce sus ecuaciones a una forma como$\frac{dx_i}{dt} = x_i(\vec{c}_i^T\vec{x} - \phi)$dónde$\phi$es una condición física promedio. Aunque los transitorios de esta dinámica siguen siendo complicados, el equilibrio suele ser relativamente fácil de analizar y se reduce a mirar la matriz.$C = [\vec{c}_i^T]_{1 \leq i \leq n}$con sus columnas dadas por su linealización de la$f_i$s.

Por supuesto, este es solo un primer paso, y la tendencia actual en la literatura es pasar a un entorno donde se tenga una estructura espacial . Aquí, la selección débil le brinda una ventaja adicional porque puede usarla para separar las escalas de tiempo local (dominada por el término constante) y global (dominada por el primer orden en$w$-- la fuerza de selección) dinámica de red. Esto le permite utilizar la poderosa técnica de aproximación de pares . Un gran ejemplo de su uso es la solución de Ohtsuki & Nowak (2006) a la dinámica evolutiva de los juegos en$k$-gráficos aleatorios regulares (puede encontrar una breve descripción aquí ).

La configuración final donde esto es útil es para estudiar la interacción de mutación y selección en poblaciones finitas . En este caso, la selección débil le permite ver la fuerza selectiva como una pequeña perturbación del estado estacionario balanceado por el mutador. En el entorno de EGT, esto requiere que defina algunos conceptos de solución nuevos para lo que significa que una estrategia sea "mejor" que otra, pero luego algunas conexiones interesantes (consulte Antal, Nowak y Traulsen (2009) para obtener más información) y muy general . se puede realizar un análisis del equilibrio mutación-selección ( Antal et al., 2009 ).