La relación entre la altitud de una quemadura anti-radial en el apogeo

La relación matemática es la ecuación de la órbita.

$$r={\ell^2\over m^2\gamma}{1\over1+e \cos{\theta}}$$

Descomposición del momento angular$\ell=mvr\sin{\alpha}$se puede expresar como

$$r={\gamma\,{(1+e \cos{\theta})}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Donde será la altura de la apoapsis

$${\gamma\,{(1-e)}\over v^2\sin^2{\alpha}}$$

Para averiguar los efectos, podemos analizar qué cambia la quemadura en cada componente:

• cambio en el ángulo del vector velocidad$\alpha$- si la nave espacial asciende, el seno del ángulo aumenta, si la nave espacial desciende, la componente del seno disminuye. El cambio será mayor cuando la quemadura sea relativamente grande en comparación con la velocidad orbital.
• cambio (aumento) en el componente de velocidad$v$- dado que una quemadura anti-radial es perpendicular al vector de velocidad original, cuanto menor sea la velocidad inicial, mayor será el aumento (tanto absoluto como relativo)
• excentricidad$e=\sqrt{1+{2E\ell^2\over m^3\gamma^2}}$generalmente aumentará cuando arda en dirección antiradial al descender, y disminuirá cuando arda mientras asciende, ya que domina el término de impulso. Si no asciende ni desciende, la excentricidad aumentaría ligeramente debido al aumento de la velocidad.
  • momento angular$\ell=mvr\sin{\alpha}$generalmente aumentará cuando el barco se mueva lentamente cerca del apoapsis o cuando el barco esté ascendiendo, de lo contrario disminuirá, según el análisis de sus componentes anterior
  • energía orbital$E$es la suma de la energía potencial y cinética, y aumentará a medida que la energía cinética sea$mv^2/2$y aumentará debido a$v$creciente (cuanto mayor$v$es decir, cuanto mayor sea el aumento de energía), la energía potencial permanece sin cambios en el momento de la quema
  • tenga en cuenta que para órbitas elípticas$E$es negativo, por lo tanto creciente$E$significa cambiar hacia cero, aumentando$\ell$reduce$e$
• $\gamma$es constante para un cuerpo específico

El componente del ángulo será el dominante para quemados más pequeños que la velocidad orbital, excepto cuando la nave espacial se mueva horizontalmente (la función del seno cambia lentamente alrededor de π/2).

Los resultados empíricos parecen apoyar esto:

• cuando la nave espacial está ascendiendo, una quemadura anti-radial reducirá la apoapsis (dividida por un seno más grande del ángulo del vector de velocidad)
• cuando la nave espacial está descendiendo, una quemadura anti-radial elevará el periápside (dividido por un seno más pequeño del ángulo del vector de velocidad)
• cuando la nave espacial está volando nivelada, una quemadura anti-radial elevaría ligeramente la apoapsis debido al aumento de la excentricidad (a través del aumento de la velocidad)
• los primeros dos efectos serán mayores cuando el barco se mueva más lento (es más alto), debido a que el ángulo cambia más. Esto es claramente visible en el gráfico.
• No estoy seguro de si el tercero será más grande o más pequeño cuando se mueve más lento, ya que, por un lado, la velocidad aumenta más, por el otro, las ganancias de energía son menores cuando se mueve más lento. Empíricamente se ven similares.

(Aunque, para que conste, si le importa la altura de la apoapsis, es más eficiente quemar progrado o retrógrado en el periapsis).