Si no se puede demostrar que los axiomas de ZFC son consistentes, ¿cómo podemos decir con certeza que se ha probado algún teorema matemático?

Comencemos más abajo. Por los teoremas de incompletitud, PA (aritmética de primer orden) no puede probar su propia consistencia. ¿Tenemos que preocuparnos de que PA sea inconsistente? Afortunadamente no: tenemos un sistema más fuerte (ZFC) que demuestra la consistencia de PA. Pero eso no es de mucha ayuda: si dudas de la consistencia de PA, esto solo significa que también debes dudar de la consistencia de ZFC. Lo que realmente queremos decir es: tenemos muy buenas razones para creer que la AP es consistente. Es decir, hemos estado trabajando con PA durante muchos años y no descubrimos ninguna inconsistencia. Y los axiomas parecen estar diciendo cosas de sentido común sobre una clase de objetos (los números naturales) cuya existencia la mayoría de nosotros damos por sentada.

Ahora pasa a alguien que duda de la consistencia de ZFC. Podría señalar algún sistema superior (digamos, ZFC + "existe un cardinal fuertemente inaccesible") que prueba la consistencia de ZFC. Pero nuevamente, eso no ayudaría, ya que si dudas de la consistencia de ZFC, dudas de la consistencia del segundo sistema. Es mucho mejor decir: hemos estado trabajando con ZFC durante mucho tiempo y no hemos descubierto ninguna incoherencia. Y ZFC parece estar diciendo algo de sentido común sobre una clase de objetos (conjuntos) cuya existencia la mayoría de los matemáticos ahora dan por sentado.

Se prueban con el supuesto implícito de los axiomas de ZFC.

Si los cimientos de un edificio se derrumban, todo el edificio se derrumba.

Afortunadamente, los fundamentos de las matemáticas no funcionan de esta manera: si se demuestra que ZFC es inconsistente mañana, es poco probable que la chica que maneja la caja en mi tienda local se preocupe si el cambio se suma correctamente; o que un estudiante que se preocupa por cómo integrar sen x ahora puede estar pensando si esto tiene una respuesta diferente a la que tenía ayer.

No hay una forma de justificar los resultados; hay una gran cantidad de ellos; y son inter-justificantes; esta es una posición llamada cohesionismo .

Esto ya sucedió una vez en los primeros días de la teoría de conjuntos: la paradoja de Russell, que finalmente se resolvió al solucionarlo.

Muy pocos teoremas de las matemáticas pueden probarse "solo" a partir de axiomas ZFC.

Los teoremas de la aritmética se prueban a partir de los axiomas de Peano y el hecho de que estos axiomas a su vez sean demostrables a partir de ZFC no agrega nada a nuestra comprensión "básica" de los números naturales .

Lo que proporciona la teoría de conjuntos en términos de "fundamentos" es doble:

• un lenguaje simple y unificado común a (bastante) todas las teorías matemáticas

• una forma poderosa de construir modelos para (bastante) todas las teorías matemáticas.

Este segundo "uso" de la teoría de conjuntos es la parte que puede ser "filosóficamente cuestionable":

si estamos buscando algún tipo de "certeza" con respecto a la existencia del sistema de números naturales , el hecho de que podamos proporcionar un modelo para los axiomas de los números naturales dentro de ZFC, solo puede "mover" el problema un paso atrás.

En cualquier caso, el mayor interés de la teoría de conjuntos radica en su propio contenido matemático, como toda teoría matemática.

El resultado de Gödel se aplica a las teorías que "incluyen" un modelo de la aritmética de los números enteros, por lo que la incompletitud y las cuestiones de consistencia no tienen por qué aplicarse a aquellas teorías que no incluyen la aritmética de los números enteros.

Por ejemplo, se puede demostrar que la geometría euclidiana es completa y consistente. Otras geometrías también son de este tipo, por ejemplo, los axiomas de Hilbert y los axiomas de Tarski.

Esto (aparentemente) se deriva del hecho de que el continuo, R , y por lo tanto el plano R ² de la geometría, se puede formalizar como una teoría recursivamente enumerable que es incapaz de definir números enteros como números reales. No tengo del todo claro los detalles de estos resultados, pero esto es lo que he leído.

Por lo tanto, no es correcto decir que "todas" las matemáticas tienen una consistencia cuestionable.

@MoziburUllah es correcto, pero no es tan ambiguo como eso. Al menos no últimamente.

Desde que comenzó a insistir en sus raíces, las matemáticas realmente han aceptado una formulación un poco menos ambigua de la coherencia que hemos tenido históricamente. El modelo actual de matemáticas (junto con las principales formas en que se enseña la lógica formal) es dual. En realidad, solo involucra dos posiciones de prueba: la deducción de la implicación a través de la gramática de combinación y la construcción de "mundos" o modelos a través de una gramática de descripción.

(Estas dos posiciones, junto con la distinción entre ellas, se remontan a Euclides. Por lo tanto, las personas que desean limitar o minimizar la suposición de coherencia pueden simplemente ignorar las posiciones intermedias y afirmar que solo eran tonterías espurias. Esto es lo que los formalistas modernos hacer.)

La consistencia puede no estar disponible a través de la construcción formal, pero la intuición real de validez o consistencia de las personas es la que se basa en modelos, no la que se basa en pruebas formales. Entonces, desde un punto de vista centrado principalmente en las matemáticas como la psicología de la intuición compartida, realmente no creemos, en el fondo, que el lenguaje formal sea lo que realmente prueba las cosas. Es solo una forma de controlarnos cuando actuamos sobre nuestras otras intuiciones, que suponemos confiables, siempre que no las persigamos demasiado.

Desde ese punto de vista, podemos mirar los "universos" simplificados de la V de Von Neumann, o la L de Goedel (o incluso los "Números surrealistas" de Conway) y estar de acuerdo en que nuestro sistema tiene un modelo. Entonces, incluso si nuestras manipulaciones formales en última instancia no se aplican directamente a los objetos que estamos estudiando, nuestro modelo base elegido contiene algo isomorfo a ellos.

Entonces, en cualquier caso en el que seamos lo suficientemente explícitos sobre lo que decimos para definir claramente el isomorfismo, podemos validar que lo que estamos haciendo no tendría una contradicción, mapeando su interpretación de nuevo en nuestro modelo base elegido.

Este es el escape formalista de la última debilidad del formalismo: afirmar que las afirmaciones matemáticas "solo existen hasta el isomorfismo" e ignorar la confianza de la existencia de los modelos básicos en la intuición.