La naturaleza del estado fundamental BCS

Question

La naturaleza del estado fundamental BCS

PedroB

Mi pregunta se refiere a qué electrones en un superconductor forman pares de Cooper en el estado fundamental BCS, es decir, todos ellos o sólo una parte de ellos. Actualmente estoy leyendo sobre la superconductividad del Cap. 10, G. Mahan, Física de muchas partículas, 3.ª ed.

Mahan escribe en la página 627: "La idea básica de la teoría BCS es que los electrones en el metal forman pares enlazados. No todos los electrones hacen esto, sino solo aquellos dentro de una energía Debye de la superficie de Fermi". Bien, así es como siempre he entendido la teoría BCS. El estado fundamental BCS está dado por

| B C S ⟩ = \prod_{k} ({tu}_{k} + v_{k} {\hat{C}}_{k, ↑}^{†} {\hat{C}}_{- k, ↓}^{†}) | v a C ⟩ .

$\begin{equation} |BCS\rangle = \prod_{\bf k} (u_{\bf k}+v_{\bf k}\hat{c}^{\dagger}_{\bf k,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\bf k,\downarrow})|vac\rangle. \end{equation}$ Este es solo el mar de Fermi estándar, si

u_{k} = 0

$u_{\bf k}=0$ y

v_{k} = 1

$v_{\bf k}=1$ , para

| k | < | k_{F} |

$|{\bf k}|<|{\bf k}_F|$ , y

u_{k} = 1

$u_{\bf k}=1$ y

v_{k} = 0

$v_{\bf k}=0$ , para

| k | > | k_{F} |

$|{\bf k}|>|{\bf k}_F|$ . Ahora pon la interacción BCS. Siempre he entendido los pares de Cooper como aquellos electrones para los cuales

{tu}_{k}^{2} = \frac{1}{2} (1 + \frac{ξ_{k}}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}}), v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{ξ_{k}}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}}),

$\begin{equation} u_{\bf k}^2=\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\xi_{\bf k}}{\sqrt{\xi_{\bf k}^2+\Delta^2}} \right), \quad v_{\bf k}^2=\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\xi_{\bf k}}{\sqrt{\xi_{\bf k}^2+\Delta^2}} \right), \end{equation}$ dónde

ξ_{k} = ℏ^{2} | k |^{2} / 2 m - μ

$\xi_{\bf k}=\hbar^2|{\bf k}|^2/2m-\mu$ . El hueco

Δ = Δ_{k} = - \sum_{k^{'}} V_{k k^{'}} u_{k^{'}} v_{k^{'}}

$\Delta=\Delta_{\bf k}=-\sum_{\bf k'}V_{\bf kk'}u_{\bf k'} v_{\bf k'}$ es distinto de cero solo para estados dentro de la energía de Debye de

μ = E_{F}

$\mu=E_F$ (en

T = 0

$T=0$ ), ya que BCS asume una interacción de la forma

V_{k k^{'}} = {\begin{cases} - V, & para - ℏ ω_{D mi b y mi} < ξ_{k}, ξ_{k^{'}} < ℏ ω_{D mi b y mi} \\ 0, & de lo contrario \end{cases} .

$\begin{equation} V_{\bf kk'}=\left\{ \begin{array}{ll} -V, & \textrm{for } -\hbar \omega_{\rm Debye} < \xi_{\bf k}, \xi_{\bf k'} < \hbar \omega_{\rm Debye} \\ 0, & \textrm{otherwise} \end{array} \right.. \end{equation}$

Entonces, entiendo que el estado fundamental BCS superconductor describe un estado donde los electrones dentro de la energía de Debye de $E_F$ forman pares de Cooper, y el resto de electrones quedan sin aparear, es decir, no forman un par de Cooper ligado. Sin embargo, todo el sistema es superconductor ya que no se pueden crear excitaciones a menos que su energía esté por encima del espacio. Las partículas desapareadas no son cuasipartículas, ya que el estado BCS es un estado de vacío para el operador de aniquilación de cuasipartículas.

Ahora, no estoy seguro de si mi comprensión es correcta, especialmente porque las excitaciones del estado BCS deben crearse o destruirse en pares. Es por eso que la brecha de excitación es $2\Delta$ .

Además, Mahan escribe en la página 647: "A temperatura cero, todos los electrones en el superconductor están en los estados de par en el potencial químico". Pero esto claramente contradice lo que escribió anteriormente. También Ashcroft y Mermin, Solid State Physics escriben que en el estado fundamental BCS todos los electrones (de conducción) están emparejados. Si todos los electrones están emparejados, ¿dónde surge la interacción atractiva requerida para formar un par de Cooper para aquellos electrones cuyas energías no están dentro de $\hbar \omega_{\rm Debye}$ de $E_F$ ? Se supone que es cero en el enfoque BCS.

tl; dr ¿Todos los electrones en el estado fundamental BCS forman pares de Cooper? En caso afirmativo, ¿de dónde viene la interacción atractiva para los electrones con $|\xi_{\bf k}|>\hbar \omega_{\rm Debye}$ ? Si no, ¿por qué las excitaciones deben crearse o destruirse en pares si hay electrones que no son pares de Cooper? Soy consciente de que el estado BCS es un estado coherente, etc., pero me gustaría tener una imagen más física del estado fundamental.

chuan chen

Creo que tiene toda la razón, personalmente, creo que esta es una debilidad de la teoría BCS. (Cuando estaba hablando con un profesor famoso, me dijeron que "si haces trampa, ganas el premio Nobel, si quieres ser exacto, no obtienes nada...")

Quillo

Se puede dar una imagen del estado fundamental de BCS en términos de "Bogoliubons". En el estado normal, un "Bogoliubon" equivale a crear un electrón por encima del nivel de Fermi y crear un agujero de momento y espín opuestos por debajo del nivel de Fermi. En el estado superconductor, el "Bogoliubon" se convierte en una superposición de un electrón y un estado de hueco. La función de onda del estado fundamental BCS corresponde al vacío de Bogoliubons, ver portal.ifi.unicamp.br/images/files/graduacao/aulas-on-line/… . Relacionado: physics.stackexchange.com/q/705959/226902

Respuestas (3)

La naturaleza del estado fundamental BCS

Creo que tiene toda la razón, personalmente, creo que esta es una debilidad de la teoría BCS. (Cuando estaba hablando con un profesor famoso, me dijeron que "si haces trampa, ganas el premio Nobel, si quieres ser exacto, no obtienes nada...")
Se puede dar una imagen del estado fundamental de BCS en términos de "Bogoliubons". En el estado normal, un "Bogoliubon" equivale a crear un electrón por encima del nivel de Fermi y crear un agujero de momento y espín opuestos por debajo del nivel de Fermi. En el estado superconductor, el "Bogoliubon" se convierte en una superposición de un electrón y un estado de hueco. La función de onda del estado fundamental BCS corresponde al vacío de Bogoliubons, ver portal.ifi.unicamp.br/images/files/graduacao/aulas-on-line/… . Relacionado: physics.stackexchange.com/q/705959/226902

M.Zeng · Answer 1

En primer lugar, a temperatura cero no todos los electrones en el estado fundamental BCS (GS) forman pares de Cooper. Una forma de pensar en esto es que en el interior de la superficie de Fermi no hay estados disponibles para eventos de dispersión, incluidos los mediados por fonones, y por lo tanto no tendríamos la atracción efectiva para formar los pares de Cooper.

Esto también se puede ver a partir de los coeficientes $u_k$ y $v_k$ en el BCS GS postulado dado en la publicación original. Cuando $k$ está muy por debajo de la superficie de Fermi, entonces $|\xi_k|>>\Delta$ , con $\xi_k<0$ . En este caso, $|u_k|\to 0$ y $v_k\to 1$ , es decir, los estados muy por debajo de la superficie de Fermi están casi completamente ocupados por electrones creados por $c^{\dagger}_{k\uparrow}c^{\dagger}_{-k\downarrow}$ . ¡Estos electrones se crean en pares, pero NO son pares de Cooper! El operador de creación de pares no nos dice nada sobre si el par es un Cooper o simplemente un par normal. Solo cuando está cerca de la superficie de Fermi y, por lo tanto, es posible tener una dispersión mediada por fonones, es posible la creación del par de Cooper.

En resumen, el BCS GS se parece a lo siguiente: en el fondo de la superficie de Fermi, son solo electrones normales. Cerca de la superficie de Fermi, es principalmente una superposición. $\left(u_k+v_kc^{\dagger}_{k\uparrow}c^{\dagger}_{-k\downarrow}\right)|0\rangle$ de estado vacío, con amplitud $u_k$ , y pares de Cooper ocupados, con amplitud $v_k$ .

EDITAR:

Después de enviar la respuesta anterior, me di cuenta de que me perdí la otra parte de su pregunta, que es sobre las excitaciones del BCS GS y aquí va:

Usted mencionó que "las excitaciones del estado BCS deben crearse o destruirse en pares". Esto no es correcto. Las excitaciones del BCS GS son fundamentalmente diferentes de los pares de Cooper o de los electrones normales. En cambio, es la cuasi-partícula creada por

γ_{pag ↑}^{†} = {tu}_{pag}^{*} C_{pag ↑}^{†} - v_{pag}^{*} C_{- pag ↓}

$\gamma^{\dagger}_{p\uparrow}=u^*_pc^{\dagger}_{p\uparrow}-v^*_pc_{-p\downarrow}$ No es sorprendente que esta sea solo la transformación de Bogolyubov utilizada para diagonalizar el campo medio BCS hamiltoniano y por eso son las excitaciones legítimas del GS. El valor propio correspondiente es exactamente

{mi}_{k} = \sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}

$E_k=\sqrt{\xi_k^2+\Delta^2}$ Aquí es donde la brecha

Δ

$\Delta$ al BCS proviene la excitación. Este tipo de excitación es un poco menos intuitivo en comparación con objetos como electrones individuales o pares de Cooper. Tiene espín 1/2, pero no lleva una carga bien definida, mientras que un par de Cooper tiene espín 0 y carga.

2 e

$2e$ .

Además, puede verificar fácilmente que

γ_{pag ↑} | B C S ⟩ = γ_{- pag ↓} | B C S ⟩ = 0

$\gamma_{p\uparrow}|BCS\rangle=\gamma_{-p\downarrow}|BCS\rangle=0$ lo cual tiene perfecto sentido ya que el operador de aniquilación para la excitación aniquila el GS.

Juan Daniel Torres · Answer 2

Respondiendo a tu primera pregunta.

¿De dónde surge la interacción atractiva requerida para formar un par de Cooper para aquellos electrones cuyas energías no están dentro de $\hbar\omega_\mathrm{Debye}$ de EF?

Simplemente no sienten una interacción atractiva. La interacción atractiva proviene de la interacción electrón-fonón. Si su energía es mayor que $\omega_\mathrm{Debye}$ sienten una interacción repulsiva que les impide formar parejas de Cooper, y por lo tanto estarían en un estado de euforia.

wcc · Answer 3

Entonces, entiendo que el estado fundamental BCS superconductor describe un estado en el que los electrones dentro de la energía Debye de EF forman pares de Cooper, y el resto de los electrones permanecen sin aparear, es decir, no forman un par de Cooper unido. Sin embargo, todo el sistema es superconductor ya que no se pueden crear excitaciones a menos que su energía esté por encima del espacio. Las partículas desapareadas no son cuasipartículas, ya que el estado BCS es un estado de vacío para el operador de aniquilación de cuasipartículas.

Escribiré lo que aprendí del condensado de Bose-Einstein. Si bien es un superfluido sin carga, el fenómeno de la condensación comparte cierta similitud con lo que sucede en los superconductores. Para un condensado, no todas las partículas necesitan estar en el estado fundamental "desnudo" (estado con momento neto cero). En presencia de interacción, el condensado adquiere una pequeña mezcla de cuasipartículas de Bogoliubov. Esto se llama agotamiento cuántico, y es más notable en el helio superfluido (un ejemplo paradigmático de superfluido que interactúa fuertemente).

La naturaleza del estado fundamental BCS

PedroB

chuan chen

Quillo

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M.Zeng

Juan Daniel Torres

wcc

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