¿Cuál es el vínculo entre el estado fundamental BCS y la superconductividad?

Una brecha de excitación de electrones es necesaria para la superconductividad. (Normalmente, los electrones se dispersan, pero si hay una brecha, entonces no se dispersan, porque no hay un estado en el que dispersarse, siempre que la temperatura sea lo suficientemente baja como para que no puedan saltar la brecha. **) Pero no es suficiente . ¡Los estados llenos también tienen que poder conducir una corriente! Los electrones en una banda de valencia de semiconductor llena tienen un espacio de excitación de electrones, como usted dice, pero no transportan corriente. (Si lo piensa, en GaAs intrínseco cerca del cero absoluto, ¡no hay eventos de dispersión de electrones!) Por otro lado, los estados llenos en un superconductor PUEDEN transportar una corriente porque... bueno, no estaba seguro pero leí el antiguo documento BCS y tienen una explicación bastante básica:

Nuestra teoría también explica de forma cualitativa aquellos aspectos de la superconductividad asociados con la conductividad infinita... los estados emparejados$(k_{1\uparrow}, k_{2\downarrow})$tener un impulso neto$k_1+k_2=q$, dónde$q$es el mismo para todos los pares virtuales. Para cada valor de$q$, existe un estado metaestable con un mínimo de energía libre y una densidad de corriente única. La dispersión de electrones individuales no cambiará el valor de$q$común a los estados de pares virtuales, por lo que solo puede producir fluctuaciones sobre la corriente determinada por$q$." Y estos eventos de dispersión aumentan la energía libre, a menos que todos los electrones se dispersen simultáneamente exactamente de la manera correcta para crear un nuevo estado metaestable centrado en un q diferente, lo cual es extremadamente improbable.

Bueno, eso tiene sentido para mí ... En su pregunta, escribió el estado fundamental de BCS con$q=0$, pero ese es solo uno de la familia de estados BCS metaestables (básicos ) con diferentes$q$, con diferente$q$s correspondientes a diferentes flujos de corriente.

En otras palabras, la teoría BCS explica cómo se emparejan los electrones y luego hay una brecha de energía para las excitaciones de partículas individuales. Cambiando ligeramente el$q$requiere poca o ninguna energía (o en algunos casos incluso reduce la energía), pero no sucederá espontáneamente porque requiere billones de electrones para cambiar su estado simultáneamente de manera coordinada. (Un campo eléctrico puede causar este tipo de cambio coordinado, pero no puede ocurrir de forma espontánea. Por lo general, solo las excitaciones de una sola partícula ocurren de forma espontánea y están separadas). Por lo tanto, es metaestable. Y el hecho de que pueda tener un estado metaestable que transporta corriente es solo otra forma de decir que la corriente puede seguir fluyendo y fluyendo incluso sin un campo eléctrico que la empuje.

** Actualización: OK, sí, existe la "superconductividad sin espacios". Mi error fue combinar "superconductor" con "superconductor sin disipación alguna". Este último no existe, incluso con una brecha de energía superconductora adecuada completa, recuerde que la transición superconductora está por encima del cero absoluto, por lo que seguramente habrá una tasa de dispersión de electrones pequeña pero distinta de cero que es tolerable sin destruir el orden superconductor . Entonces, según esa lógica, no sorprende que un espacio parcial o inexistente sea compatible con la superconductividad a una temperatura de transición muy baja.

La función de onda BCS que escribe depende de un parámetro$\phi$, pero la energía del estado fundamental es independiente de ella. Esto implica que$\phi$es el (sería) modo Goldstone que gobierna la dinámica de baja energía del sistema. el gradiente de$\phi$es el conservado$U(1)$Actual$\vec\jmath \sim \vec\nabla\phi$, y la corriente cargada ordinaria es$\vec\jmath_s =n_s e \vec\nabla\phi /m$, dónde$n_s$es la densidad superfluida de electrones.

Porque$\phi$es un modo Goldstone, la acción efectiva de baja energía solo puede depender de gradientes de$\phi$. Por invariancia de calibre, la acción efectiva es de la forma$S[A_\mu-e\nabla_\mu\phi]$. La forma explícita de$S$puede calcularse a partir de la función de onda BCS, o determinarse más fácilmente utilizando métodos de diagramas. Para nuestros propósitos, el único punto importante es que$S$tiene al menos un mínimo local si el campo desaparece. Esto significa que las soluciones de la ecuación clásica de movimiento son de la forma$A_\mu=e\nabla_\mu \phi$(Esta es la ecuación de Londres). Consideremos un campo eléctrico aplicado$\vec{E}=-\vec\nabla A_0$. Encuentro

$$\vec{E}=-e\vec\nabla \dot\phi=\frac{m}{n_s}\frac{d\vec\jmath}{dt}$$ lo que muestra que una corriente estática corresponde a un campo cero y la resistividad es cero.

La acción efectiva también gobierna otras propiedades del sistema, como el efecto Meissner, la corriente crítica y las fluctuaciones de la corriente en un conjunto térmico.

Posdata: un comentarista argumenta que realmente necesito mostrar que$S$tiene un minimo

$$S \sim \gamma (A-e\nabla\phi)^2 + \ldots$$ Primero, tenga en cuenta que $\gamma$determina la masa de Meissner, por lo que, incluso sin un cálculo, he demostrado que el efecto Meissner implica superconductividad. Más allá de eso, de hecho tengo que hacer un cálculo de $\gamma$basado en la función de onda BCS (podría apelar al funcional de Landau-Ginzburg, pero esto solo cambia la pregunta al término de gradiente en el funcional LG). Afortunadamente, el cálculo es sencillo y se puede encontrar en muchos libros de texto. Para las personas con más interés en la física de partículas, hay una hermosa explicación en el Vol II del libro QFT de Weinberg. Está el famoso artículo de Anderson sobre la invariancia de gauge y el efecto Higgs. Proporcioné una versión del cálculo en la Secc. 3.4 de estas notas de clase https://arxiv.org/abs/nucl-th/0609075

Posdata: ¿En qué se diferencia esto de un gas de electrones que interactúa débilmente? En el gas de electrones tengo una descripción de baja energía en términos de electrones y fonones (y otros grados de libertad). Para simplificar, considere el límite de alta temperatura, donde se aplica una descripción clásica (como se explica en la teoría de líquidos de Landau Fermi, esto se generaliza a T baja). La ecuación de movimiento para un solo electrón es simplemente$m\dot v=e E$, que superficialmente se parece a la ecuación de Londres. Sin embargo, esta no es una corriente macroscópica. Cuando paso de ecuaciones microscópicas a macroscópicas no hay simetría que prohíba la aparición de términos disipativos, por lo que la conductividad es distinta de cero. De hecho, hay una sutileza en el acoplamiento de electrones y fonones, porque sin el proceso de umklapp, la conservación del impulso obligaría a desaparecer la conductividad.

En un superconductor, el gradiente del bosón de Goldstone describe automáticamente una corriente macroscópica ($\gamma$es proporcional a la densidad de electrones). S es una acción efectiva cuántica y los términos disipativos están automáticamente prohibidos. A temperatura finita, las cosas se complican un poco más porque la corriente total es, en general, la suma de una supercorriente no disipativa, gobernada por$S$, y una corriente normal disipativa. Sin embargo, a continuación$T_c$parte de la respuesta es transportada por una supercorriente.

Como mencionas correctamente, la presencia de una brecha no explica nada de la fenomenología superconductora, excepto su comportamiento de CC (y cuasi-CC). Esto es bastante natural: mismas causas, mismas consecuencias. Entonces, un superconductor se comporta como un semiconductor porque tiene un espacio. Al ser esta brecha bastante pequeña, los superconductores convencionales no son semiconductores realmente interesantes.

Entonces, ¿cuáles son los aspectos cruciales de la superconductividad ocultos en el BCS Ansatz que escribiste? Bueno, muchos, muchos, por ejemplo.

• este es un ejemplo de un estado fermiónico coherente
• proviene de la imagen microscópica del emparejamiento de Cooper (como se explica en el primer párrafo de la respuesta de Joshuah Heath (el resto de su respuesta no tiene sentido)
• da una fase (en el sentido de$\varphi$en la escritura$e^{i\varphi}$, no en el sentido de fase de la materia) al condensado, por lo tanto, tiene una función de onda macroscópica asociada al condensado
• explica la dependencia de la temperatura de la brecha
• hace que el condensado sea un material diamagnético perfecto
• ...

El diamagnetismo perfecto va de la mano sin resistencia. La demostración de que no hay corriente / diamagnetismo perfecto / no hay resistencia asociada al BCS Ansatz se explica con gran detalle en el relato histórico que presenta la teoría microscópica, a saber

Bardeen, J., Cooper, LN y Schrieffer, JR (1957). Teoría de la Superconductividad . Revisión física, 108, 1175–1204.

Los detalles del cálculo también se pueden encontrar en

Tinkham, M. (1996). Introducción a la superconductividad (segunda edición). Publicaciones de Dover, Inc.

Vea también esta respuesta mía, sobre una pregunta relacionada.

Por lo que recuerdo, Leggett también proporciona muchos cálculos diferentes de este efecto, como

Leggett, AJ (1975). Una descripción teórica de las nuevas fases del He3 líquido . Reseñas de Física Moderna, 47, 331–414.

Sin embargo, el cálculo es un poco engorroso, por lo que soy reacio a probarlo en esta plataforma. Siéntase libre de preguntar sobre detalles poco claros en las referencias vinculadas.

No estoy seguro acerca de la segunda parte de su pregunta, pero creo que puedo darle una respuesta a la primera parte. La función de onda de prueba BCS propone una combinación lineal de un estado de mar de Fermi lleno (con probabilidad$|u_k|^2$) y un estado con un par de Cooper (con probabilidad$|v_k|^2$). Si uno calcula el valor esperado del emparejamiento hamiltoniano y minimiza la energía, encontrará que el sistema favorece estar en el estado emparejado de Cooper. Lo que esto nos dice es que, mientras tengamos algún potencial atractivo (no importa cuán pequeño sea), el sistema preferirá un estado emparejado de Cooper. En alguna estructura reticular, las interacciones fonón-electrón proporcionan este atractivo potencial.

Es esta formación inevitable de pares de Cooper la que nos da resistividad cero. La física a pequeña escala (como la dispersión) se absorbe en la mecánica cuántica macroscópica descrita por este sistema, como se describe en esta respuesta. Por lo tanto, los procesos de dispersión no afectarán la corriente. Como se sugiere en su pregunta y en la discusión en el enlace anterior, la resistencia cero no depende de la existencia de una brecha.

Se puede encontrar una buena discusión sobre las causas de la superconductividad aquí. Para una excelente discusión de todas las cosas superconductoras, vea el libro de Tinkham.

Lo que pasa es que no se puede comparar la estructura de bandas de un aislador y la del superconductor BCS. Para el aislante, la brecha de banda es una brecha de energía con densidad cero de estados en el espacio de electrones. Tenga en cuenta que "electrón" no es la palabra correcta, ya que tenemos cuasipartículas similares a electrones en una red debido a la interacción, pero aún son muy similares a los electrones. Por lo tanto, los "electrones" no pueden obtener energía adicional de un voltaje externo.

Ahora consideremos el BCS hamiltoniano. Vemos una energía de condensación constante y un hamiltoniano que parece familiar, ya que está escrito en el espacio k. Sin embargo, los operadores no son operadores normales de tipo electrónico. Son cuasipartículas de Bogolibuov, que son superposiciones de electrones y huecos. Por lo tanto, solo para una energía suficientemente grande, puedo generar estas partículas. Para energías (voltajes externos) por debajo de este umbral de energía (en T=0), mi estado fundamental permanece sin cambios. Considerando el estado fundamental, vemos un estado coherente que tiene una fase asociada, la fase superconductora. A partir de esa fase, uno puede computar muchos experimentos de transporte y ver supercorrientes, por ejemplo.

Pero, ¿cuál es la intuición aquí? Tenemos que volver a mirar un metal normal y ver qué significa la resistividad. Se traduce como dispersión. Electrones que cambian de estado o se descomponen en estados de menor energía y dan energía a un entorno. Las partículas en un estado BCS superconductor no pueden hacer eso, por las mismas razones que los electrones en un aislante: no quedan estados disponibles. Sin embargo, los electrones en un superconductor están ligados a su estado coherente. Por lo tanto, la brecha en realidad protege el estado coherente de los electrones y, por lo tanto, las propiedades superconductoras. Tenga en cuenta que la brecha no es necesaria para un SC. Lo único que necesitamos es el estado coherente de electrones que también se puede formar sin un espacio. Hay superconductores no convencionales que no tienen espacio para ciertas direcciones, donde los pares de cobre se rompen fácilmente.

La pregunta sigue siendo por qué los estados coherentes otorgan los efectos de la superconductividad, es decir, el diamagnetismo perfecto y la resistividad cero. La respuesta está en QUANTUM. Lo que quiero decir con eso es que ya no hay una explicación intuitiva real. Uno puede calcular el transporte entre dos estados coherentes y ver que fluye corriente sin influencia externa. El efecto dc-Josephson es un efecto exclusivamente mecánico cuántico. Lo mismo ocurre con el efecto ac-Josephson. Ni siquiera quiero intentar formular una explicación intuitiva de por qué un voltaje constante induce una corriente alterna entre dos superconductores. Por supuesto, las matemáticas nos dan una explicación (medir derivadas invariantes, etc.), sin embargo, no hay una "imagen" asociada a ella. Tenemos que usar nuestra "intuición física".