¿Hasta qué punto se puede pensar en el parámetro de orden superconductor como una función de onda macroscópica?

Para responder a su pregunta, es necesario comprender un poco qué es el formalismo de Ginzburg-Landau (GL). Primero recordemos el funcional GL:

$$F=\int dV\left[g\left|\left(\nabla-\dfrac{2\mathbf{i}e}{\hbar}A\right)\Psi\right|^{2}+a\left(T-T_{c}\right)\left|\Psi\right|^{2}+b\left|\Psi\right|^{4}+\dfrac{\left(\nabla\times A\right)^{2}}{2\mu}\right]$$

con$\Psi$el parámetro de orden (complejo),$a$,$b$y$g$algunos parámetros,$\mu$la permeabilidad magnética de los compuestos,$V$su volumen y$T$la temperatura. Próximo,$T_{c}$es la temperatura crítica por debajo de la cual el coeficiente$a\left(T-T_{c}\right)$es negativa, dando lugar a un equilibrio finito

$$\dfrac{\delta F}{\delta\Psi^{\ast}}=0\Rightarrow\left|\Psi\right|^{2}=\dfrac{-2b}{a\left(T-T_{c}\right)}$$

parámetro de orden, mientras que$\Psi=0$para$T>T_{c}$. Entonces, una respuesta breve a su pregunta es: siempre que el funcional GL sea una buena aproximación para un superconductor, la descripción de este superconductor seguirá el formalismo GL. ¡Además, el funcional GL es una descripción correcta del superconductor en el llamado régimen GL! Realmente suena como una tautología, pero piénsalo una vez más. donde estan los coeficientes$a\left(T-T_{c}\right)$y$b$procedente de ? ¿Por qué no hay términos de orden superior, como un$c\left|\Psi\right|^{6}$en la expansión? Qué es$g$y por qué el potencial vectorial es$A$en el término de gradiente, como para partículas cargadas? etcétera ...

Ahora, déjame reformular tu pregunta como: ¿qué es$\Psi$? Se llama parámetro de orden, porque corresponde a la minimización del funcional GL... ¿te suena raro? Sin embargo, es la definición del parámetro de orden en el llamado paradigma de Landau de la materia condensada: un parámetro de orden es una cantidad observable que es cero por encima de una temperatura crítica (digamos$T_{c}$) y distinto de cero por debajo de esta temperatura crítica (la temperatura se puede reemplazar por cualquier termodinámica que desee: volumen, presión, entropía, ...). acabo de mostrar eso$\Psi$sigue esta regla, por lo que es un parámetro de orden.

Siguiente pregunta: es$\Psi$una función de onda? Ciertamente no ! La función de onda$\Phi$del condensado verifica la ecuación secular$H\Phi=E\Phi$. Bardeen, Cooper y Schrieffer (BCS) lograron dar una función de onda variacional del estado fundamental del hamiltoniano de Fröhlich/BCS (sí, el mundo está lleno de tautología, está claro que BCS no llamó a su hamiltoniano "BCS" ...) como

$$\Phi=\prod_{k}\left[u_{k}+v_{k}^{\ast}c_{k}^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}\right]\Phi_{0}$$

lo que suena difícil de probar usando el formalismo GL. De hecho, no puedes hacer eso de esa manera.

Lo que puedes hacer es seguir

LP Gor'kov, Derivación microscópica de las ecuaciones de Ginzburg-Landau en la teoría de la superconductividad , Sov. física JETP 9 , 1364-1367 (1959). Los detalles del cálculo se reproducen en AA Abrikosov, LP Gor'kov e IE Dzyaloshinsky, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics , Prentice Hall (1963).

que en resumen hizo lo siguiente:

• encontrar el espectro del hamiltoniano de Fröhlich/BCS en la aproximación de campo medio (Gor'kov introdujo las famosas funciones anómalas de Green para hacerlo)

• tratar la brecha superconductora de manera autoconsistente. La brecha superconductora se define como

$$\Psi\propto\left\langle c_{k}^{\dagger}c_{-k}^{\dagger}\right\rangle$$

(compare con el BCS Ansatz anterior para la función de onda, tenga en cuenta que el promedio$\left\langle \cdots\right\rangle \sim\left\langle \Phi\right|\cdots\left|\Phi\right\rangle$es un promedio sobre el vacío no trivial (cooper emparejado), que debería verse como$\Phi$).

• expandir esta relación para un pequeño parámetro de brecha

Al final de este laborioso cálculo, terminas exactamente con el funcional GL y conoces los orígenes microscópicos de los coeficientes allí.

Entonces, ahora podemos responder la pregunta tautológica: ¿cuál es el régimen GL en el que el funcional GL describe un superconductor? Bueno, está claro del cálculo de Gor'kov que necesitas$\Psi$ser pequeño De la curva general de la$\Psi\left(T\right)$, ves que$\Psi$es pequeño cuando la temperatura$T$está cerca del crítico$T_{c}$. De hecho, una transición de fase de segundo orden exhibe una pendiente lineal de$\Psi\left(T\right)$para$T\approx T_{c}$, que da aproximadamente la validez del funcional GL.

Observación 1) ¿Necesita el argumento de Gor'kov para decir dónde es correcto el funcional GL? Por supuesto que no. Incluso, el funcional GL apareció 10 años antes de los cálculos de Gor'kov. Todo lo que necesita es un poco de intuición (el parámetro de orden es pequeño y, por lo tanto, se puede expandir en serie porque es una transición de fase de segundo orden, las potencias impares no pueden estar presentes por razones de simetría ya que los compuestos poseen una simetría de inversión, el fase debe ser espacialmente homogéneo: la penalización$g$debe estar presente en el funcional ...) y terminas con el GL-funcional.

Observación 2) Está claro que la versión linealizada (cuando$b\rightarrow 0$) del funcional GL conduce a la ecuación de Schrödinger, por lo que la gente llama$\Psi$una función de onda en ese sentido. Sin embargo, uno debería preferir llamar$\Psi$un parámetro de orden complejo para un campo bosónico cargado.

Observación 3) El funcional GL a veces se denomina modelo abeliano de Higgs, ya que demuestra la fijación de fase debido a la penalización$g$(llamada rigidez del condensado) en la expansión. Esto se debe enteramente al vector potencial$A$en el funcional GL, que a su vez está relacionado con el hecho de que$\Psi$representa un parámetro de orden de bosones cargados. Dado que este modelo exhibe toda la electrodinámica de la fase superconductora (obviamente, no hay dinámica de espín en el funcional GL que le di, por lo que debe adaptarlo si desea describir también la dinámica de espín), el GL funcional se describe como el modelo para discutir la superconductividad, sin introducirlo como una generalización del modelo de Landau para la transición de fase y el parámetro de orden, aquí adaptado al caso de un campo cuántico cargado. Supongo que el origen de esta pregunta radica en la falta de conocimiento sobre el modelo de Landau de transición de fase de segundo orden. Además, la introducción del funcional GL sin una discusión microscópica se hace a menudo en libros de texto de alta energía que quieren centrarse en el mecanismo de Higgs.

Observación 4) ¿Podemos aplicar el funcional GL para describir los superconductores a bajas temperaturas? En principio no , pero hay algunos argumentos que muestran que el modelo abeliano de Higgs se puede generalizar a bajas temperaturas, véase, por ejemplo , Greiter: ¿Se viola espontáneamente la invariancia de medida electromagnética en los superconductores?

Después de escribir esta larga respuesta, me di cuenta de que no había respondido a su última pregunta: ¿por qué el funcional GL describe tan bien la electrodinámica de los superconductores? La razón es que el mecanismo de Higgs es la única modificación que necesitas hacer para pasar del electromagnetismo del metal normal al electromagnetismo del superconductor. Más heurísticamente, dado que los pares de Cooper se mueven sin resistencia, está claro que harán la ley en sistemas desordenados. Entonces, solo necesita capturar su propiedad fundamental, que es el diamagnetismo puro, consulte, por ejemplo , esta pregunta en otra parte de este sitio web (tenga en cuenta que el efecto Meissner puede reemplazarse por diamagnetismo perfecto en todas las respuestas a esta pregunta).