¿La modulación de amplitud cambia la frecuencia de un fotón o el número de fotones?

A continuación, asumimos que la polarización está alineada de tal manera que se justifica el tratamiento escalar del campo eléctrico. Además, limitamos la discusión a una coordenada fija$x=0$para eliminar la dependencia del vector de onda.

Descripción clásica

Consideremos un campo eléctrico clásico

$$E(t)=A(t)\cos\omega_c t \tag{1}$$

con frecuencia portadora angular$\omega_c$donde modulamos la amplitud del campo con

$$A(t)=A_0\cos\omega_m t \tag{2}$$

dónde$\omega_m$es la frecuencia de modulación angular. A modo de ilustración, supongamos$\omega_m\ll\omega_c$, Por ejemplo,$\omega_c$podría estar en la óptica mientras que$\omega_m$podría estar en el dominio de baja frecuencia.

En esta imagen, podemos pensar en la onda eléctrica propagándose con frecuencia$\omega_c$mientras que su amplitud oscila lentamente con$\omega_m$.

Sin embargo, también podemos combinar la ec. (1) con la ecuación. (2) y escribe

$$E(t) = A_0\cos\omega_m t\cos\omega_c t = \frac{1}{2}A_0\bigl(\cos\omega_+t+\cos\omega_-t\bigr) \tag{3}$$

donde definimos$\omega_\pm=\omega_c\pm\omega_m$.

En esta imagen, en realidad tenemos dos ondas, una oscilando rápidamente con$\omega_+$y uno oscilando lentamente con$\omega_-$.

Hasta ahora, todo bien. Aunque, la ec. (1) y ec. (3) sugerir un punto de vista diferente, ambos son equivalentes y deberían dar las mismas predicciones (clásicas).

Descripción cuántica

Ahora, pasamos a la descripción cuántica donde definimos que el operador de campo eléctrico es

$$\hat{E} = i\sum_i\omega_i\left\{\hat{a}_ie^{-i\omega_it}-\text{c.c}\right\} \tag{4}$$

con$\text{c.c.}$refiriéndose al término complejo conjugado, y donde$\hat{a}_i$es el operador de aniquilación del modo$i$que satisface la relación canónica de conmutación

$$\left[\hat{a}_i,\hat{a}_j^\dagger\right]=\delta_{ij} \tag{5}.$$

Asumimos un estado coherente bimodal$\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle$con$\alpha_i\in\mathbb{C}$y calcule el valor esperado del operador de campo eléctrico para ese estado

$$\begin{aligned} \langle\alpha_1,\alpha_2\vert\hat{E}\vert\alpha_1,\alpha_2\rangle &= i\omega_1\left(\alpha_1e^{-i\omega_1t}-\text{c.c.}\right)+ i\omega_2\left(\alpha_2e^{-i\omega_2t}-\text{c.c.}\right)\\ &= -2\omega_1\operatorname{Im}\left\{\alpha_1e^{-i\omega_1t}\right\}+ -2\omega_2\operatorname{Im}\left\{\alpha_2e^{-i\omega_2t}\right\} \end{aligned}\tag{6}.$$

con la elección$\omega_1=\omega_+$y$\omega_2=\omega_-$así como$\alpha_i=-iA_0/(4\omega_i)$(hasta algunos factores que conservan la unidad) podemos recuperar nuestro resultado clásico dado en la ec. (4).

Por otro lado, también deberíamos poder reproducir la ec. (1) afirmando un estado coherente monomodo$\vert\alpha(t)\rangle$con$\alpha(t)\propto A_0\cos(\omega_mt)/\omega$.

Sin embargo, esta vez, ¡podríamos pensar en un experimento que distinga entre estos dos estados!

Recapitular el efecto fotoeléctrico describe la emisión de electrones por un fotón golpeando un metal. La energía fotónica$\hbar\omega$debe ser mayor que el potencial de trabajo$W$que une el electrón al metal. Sorprendentemente, el efecto fotoeléctrico es (despreciando la absorción multifotónica) independiente de la intensidad.

Supongamos que estamos en posesión de un metamaterial donde el potencial de trabajo se adapta a$\hbar\omega_c$. En este caso, podríamos distinguir entre el estado coherente monomodo y bimodo porque la amplitud$\vert\alpha\vert$del estado coherente$\vert\alpha\rangle$fija la media de las estadísticas de fotones (poissonianas), pero la energía, que determina si se produce la emisión de electrones, viene dada por la frecuencia del modo.

Si recordamos cómo derivamos la ec. (3) de modos en una cavidad confinada esto también tiene sentido.

¿Es correcto concluir que la modulación de amplitud de una señal láser óptica cambia la energía de los fotones participantes?