Comparando la curva Braquistocrona con una curva Hipocicloide

Tu razonamiento es casi perfecto. Solo un pequeño problema trivial que se puede solucionar fácilmente. Usted afirma que a partir de la conservación de la energía$v = \sqrt{2gy}$. Sin embargo, lo que realmente establece la conservación de la energía es que la energía potencial inicial es igual a la energía cinética más la energía potencial en un estado. Por eso,$\frac{1}{2}mv^2 + mgy = mgy_0$, dónde$y_0$es la altura inicial. De esto, obtenemos que$v = \sqrt{2g(y_0 - y)}$, dónde$y_0$es una constante que depende de dónde configure su objeto para comenzar a rodar. Una vez$y_0$se determina, usted tiene su fórmula para la velocidad. A partir de ahí, resuelves la integral para obtener una fórmula similar a la que tienes. Lo mejor que puede hacer desde aquí es hacer lo que indicó y sustituir la función por$y$en términos de$x$, o para escribir$y'$en términos de$y$y sustituto. Si eliges la primera forma, obtienes una función de$t$en términos de$x$. Si haces la segunda manera, obtienes una función de$t$en términos de$y$. Ambas formas están bien, pero la primera es, con mucho, la forma más fácil de hacerlo. Cualquiera que sea la forma en que lo haga, cuando haya terminado, puede graficar o hacer un análisis funcional.