¿La ley del cuadrado inverso no es precisa para masas no puntuales?

No es del todo cierto decir que la ley del cuadrado inverso "no es precisa para masas no puntuales ". La respuesta más correcta es decir que no es precisa para masas simétricas no esféricas .

La ley del cuadrado inverso depende, esencialmente, del hecho de que la fuente "parece" igual al objeto que atrae, sin importar dónde se encuentre en relación. Si puede "ver" un bache que lo golpea desde una dirección que desde otra, sentirá más fuerza de ese bache que de otra manera, incluso estando a la misma distancia del centro de masa, violando así la ley del cuadrado inverso. Por ejemplo, un objeto cometario/asteroide bilobulado como el recientemente descubierto "Ultima Thule" con un lóbulo dirigiéndose hacia usted, en lugar de estar a la misma distancia pero "viéndolo" de lado.

Para una masa esféricamente simétrica, puedes demostrar que la ley de Newton se cumple en su forma habitual. Esto se puede hacer a través de un análogo gravitatorio de la ley de Gauss para campos eléctricos:

dónde$S$es una superficie cerrada que encierra la masa (no puedo escribir ese círculo divertido alrededor de la integral aquí correctamente, lo siento) y$M_\mathrm{enc}$la masa encerrada. Alternativamente, puede simplemente integrar la ley de Newton, pero eso no es tan bueno.

También es importante señalar que la simetría esférica no solo debe estar en la forma bruta de la masa, sino también en su distribución de densidad. De hecho, el campo gravitatorio de la Tierra no es esféricamente simétrico y, por lo tanto, no es cuadrado inverso para los objetos cercanos a la Tierra, principalmente debido a tales faltas de homogeneidad dentro de él que cualquier otra cosa, un hecho que se muestra si miras un "geoide". efectivamente, un mapa de la forma del campo de gravedad de la Tierra, utilizado en cartografía para establecer un significado preciso del término "nivel del mar". Esto, a pesar de que la forma bruta de la Tierra es una esfera tan buena, si no mejor, que muchos objetos "esféricos" que puedes sostener en tus manos.

(Nota: otra posibilidad, pero hasta ahora puramente hipotética o fantástica, pero posiblemente más dramática, sería una forma de violarla si existieran masas gravitatorias negativas [probablemente violando la teoría de Einstein]: estas permitirían la creación de 'dipolos gravitacionales' [ es decir, un momento dipolar gravitacional no removible] que sería análogo a los dipolos eléctricos y por lo tanto tendría una ley del cubo inverso .)

AGREGAR (ver comentarios): Como nota, este resultado también es un caso del famoso teorema de la cáscara y fue probado por el mismo fundador de la mecánica clásica, Sir Isaac Newton. Lo anterior es un enfoque más moderno para derivar el resultado.

AGREGAR 2 : Me doy cuenta de que se ha buscado una explicación, no solo para el modo correcto de prueba del comportamiento del cuadrado inverso para una masa esféricamente simétrica extendida, sino también por qué el intento de prueba del OP es erróneo . La razón básica es que la característica esencial -la ley del inverso del cuadrado- del comportamiento esféricamente simétrico no puede analizarse en términos de los comportamientos de sus partes individualmente: solo aparece cuando los sumas todos juntos, holísticamente, al menos hasta el punto de alcanzar la simetría esférica completa. No es suficiente que los dos elementos de masa seleccionados de la esfera sean simétricos con respecto a su centro. Porque si bien ellos, juntos, tienen cierta simetría (es decir,$\mathrm{O}(2) \times \mathbb{Z}_2$), no tienen simetría esférica . Por lo tanto, solos , nunca serán completamente reemplazables por una concentración puntual como intentas hacer y solo puedes ser engañado en cuanto a todo el comportamiento pensando en ellos solos, individualmente. Este error lógico en realidad tiene un nombre: se llama la falacia del compuesto , suponiendo que un sistema compuesto necesariamente tiene, o "hereda", las mismas propiedades que sus partes. No lo hace, o, si lo hace, eso tiene que probarse, y no simplemente deducirse del hecho de su composición.

(Bueno, en realidad, puedes romperlo, pero tienes que "pelarlo como una cebolla" en capas esféricas. No incluyo esto porque es, en efecto, "trivial": la 'buena parte', es decir, la diferencia fundamental entre la simetría esférica y la no esférica - ya está ahí una vez que haces eso, como tiene que ser , y por lo tanto no tiene un poder real de explicación o prueba , diría yo. En el mejor de los casos, podría ser el paso final en un prueba, pero no el paso más sustancioso.)

La ley del cuadrado inverso es exacta siempre que se puedan despreciar las correcciones relativistas generales. Para cualquier distribución de masa, la fuerza se puede encontrar sumando la contribución de la ley del cuadrado inverso de sus partes, es decir, mediante la convolución de la distribución de densidad con la ley del cuadrado inverso.