¿La laguna teórica de números permite una definición alternativa de entropía?

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¿La laguna teórica de números permite una definición alternativa de entropía?

tirabuzones

Un poco sobre la publicación

Pido disculpas por el título . Sé que suena loco, pero no podía pensar en una alternativa que fuera relevante. Sé que esto es una "idea descabellada", pero lea la publicación completa.

Además, no estaba seguro de si debía publicar esto en la comunidad de física o matemática.

El libro al que se hace referencia es "Física estadística" de Tony Guenault.

Definiciones

$A (r) = número de factores primos de r$ $A(r)=\text{number of prime factors of r}$
Un microestado, por definición, es un estado cuántico de todo el conjunto. (Página 4)
Distribución de estados: Este es un conjunto de números $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ se define como el número de partículas en estado $j$ , que tiene energía $\epsilon_j$ . A menudo, pero no siempre, esta distribución será un conjunto infinito; la etiqueta $j$ debe recorrer todos los estados posibles para una partícula. Una abreviatura útil para todo el conjunto de números de distribución $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ es simple $\{ n_j \}$ (Página 6)
Usualmente y especialmente para un sistema grande, cada distribución $\{n_j \}$ se asociará con un gran número de micro-estados. Esto lo llamamos $t(\{ n_j \})$ (página 9)
$t(\{ n_j \})= \frac{N!}{\prod_j n_j !}$ (página 10)
$S= k_b \ln(\Omega)$ (pagina 12)
$\Omega = \sum t( \{ n_j \}) \approx t( \{ n_j^* \}) =t^*$ dónde $t( \{ n_j^* \})$ es el plazo máximo (Página 16)

Prólogo

En la página 13 se escribió lo siguiente:

.. Para un sistema aislado un proceso natural ... es precisamente aquel en el que aumenta la entropía termodinámica ... De ahí una relación directa entre $S$ y $\Omega$ se sugiere, y además uno monótonamente creciente...
Para un conjunto compuesto, formado por dos subconjuntos $1$ y $2$ decir, sabemos que es toda la asamblea $\Omega$ es dado por $\Omega=\Omega_1 \Omega_2$ . Esto es consistente con la relación... ( $S= k_b \ln(\Omega)$ )
... $\Omega=1$ correspondiente a $S=0$ , un cero natural para la entropía.

Si lo anterior fuera el requisito "riguroso" para demostrar que existe $S=k_b \ln(\Omega)$

Entonces creo que he encontrado otra función que satisface los criterios anteriores:

S = k_{a} A (Ω)

$S= k_a A(\Omega)$

Dónde $k_a$ es una constante arbitraria. Por ejemplo $A(12)= A(2^2 \times 3 ) = 3$

Para abordar el punto 1 del boletín:

A (X) + A (y) = A (X y)

$A(x)+A(y)=A(xy)$

Por ejemplo:

A (3) + A (33) = A (99) = 3

$A(3)+ A(33)= A(99)=3$

También notamos

A (1) = 0

$A(1) = 0$

Sobre esto monótonamente creciente notamos valores permitidos de $\Omega =\frac{N!}{\prod_j n_j !}$ . Por lo tanto, para los valores permitidos de $\Omega$ :

Ω_{1} > Ω_{2} ⟹ A (Ω_{1}) > A (Ω_{2})

$\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1) > A(\Omega_2)$

Por lo tanto, podemos usar (como una definición alternativa):

S = k_{a} A (Ω)

$S = k_a A(\Omega)$

Lógicamente quizás ( $S=k_b \ln(\Omega)$ ) es un resultado derivado de la física estadística (página 13)

Tratamiento Riguroso

Podemos derivar la distribución de Boltzmann de la forma habitual con algunas modificaciones... Reconocemos las restricciones:

\sum_{j} {norte}_{j} = norte

$\sum_{j} n_j = N$

\sum_{j} {norte}_{j} ϵ_{j} = tu

$\sum_{j} n_j \epsilon_{j}= U$

min (Ω) = min en (Ω) = min A (Ω) ⟹ {norte}_{j}^{*} = Exp (α + β ϵ_{j})

$\min (\Omega) = \min \ln( \Omega) = \min A( \Omega) \implies n^*_j = \exp(\alpha + \beta \epsilon_j)$

Usando la condición de que

\sum_{j} {norte}_{j} = norte ⟹ min (Ω) ⟹ {norte}_{j} = \frac{norte}{Z} Exp β ϵ_{j}

$\sum_{j} n_j = N \implies \min (\Omega) \implies n_j = \frac{N}{Z} \exp{\beta \epsilon_j}$

dónde $Z = \sum_j \exp{\beta \epsilon_j}$

Sin embargo, esto no da el tipo habitual de $\beta$

\begin{aligned} d (en (Ω)) & = d (en t^{*}) \\ = - \sum_{j} en {norte}_{j}^{*} d {norte}_{j} \\ = - \sum_{j} (α + β ϵ_{j}) d {norte}_{j} [Usando la distribución de Boltzmann] \\ = - β \sum_{j} ϵ_{j} d {norte}_{j} [∵ norte está arreglado] \\ = - β (d tu) \\ = - β (T d S) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d (\ln(\Omega))& = \mathrm d(\ln t^*) \\&= -\sum_{j} \ln {n^*_j} \,\mathrm dn_j\\ &= -\sum_j (\alpha + \beta \epsilon_j) \,\mathrm dn_j \qquad [\textrm{Using Boltzmann distribution}]\\ & = -\beta \sum_j \epsilon_j \,\mathrm dn_j\qquad \qquad[\textrm{ $\because \;N$ is fixed}] \\&= -\beta (\mathrm dU)\\ &= -\beta (T\,\mathrm dS)\end{align}$ Insertando la nueva definición de

S = k_{a} A (Ω)

$S=k_a A(\Omega)$

∴ β = \frac{- 1}{k_{a} T} \times \frac{d en (Ω)}{d A (Ω)}

$\therefore \beta= \frac{-1}{k_a T} \times \frac{\mathrm d \ln(\Omega)}{\mathrm d A(\Omega)}$

Preguntas

¿Es correcto este trabajo? ¿Alguien ya ha trabajado en ello? (Si es así, haga referencia por favor) y ¿la laguna teórica de números permite una definición alternativa de entropía?

PD: Idealmente, me hubiera gustado hacer muchas preguntas derivadas, pero creo que primero necesito saber si esto es correcto.

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david z

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Respuestas (1)

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una mente curiosa · Answer 1

Si bien es una coincidencia de aspecto divertido, esta no es una expresión alternativa válida para la entropía en general, ya que la entropía de una distribución de probabilidad (que es lo que se esconde rigurosamente detrás de la extraña palabra "macroestado") generalmente está dada por

\begin{matrix} (1) & S = - k_{B} \sum_{i} {pag}_{i} en ({pag}_{i}) \end{matrix}

$S = - k_B \sum_i p_i\ln(p_i) \tag{1}$ y se vuelve solo

\begin{matrix} (2) & S = k_{B} en (Ω) \end{matrix}

$S = k_B \ln(\Omega) \tag{2}$ en el caso de una distribución uniforme para la cual cada estado dentro

Ω

$\Omega$ es equiprobable. Es precisamente el postulado fundamental de la termodinámica que los sistemas en equilibrio se describen mediante tales distribuciones uniformes, pero es

(1)

$(1)$ , y no

(2)

$(2)$ , que da la entropía para todos los sistemas estadísticos en equilibrio o no.

Además, es $(1)$ que se generaliza al caso cuántico, donde la entropía viene dada por

\begin{matrix} (3) & S (ρ) = k_{B} T r (ρ en (ρ)) \end{matrix}

$S(\rho) = k_B \mathrm{Tr}(\rho\ln(\rho))\tag{3}$ para

ρ

$\rho$ la matriz de densidad, la versión cuántica de una distribución de probabilidad estadística. En particular, tratando de aplicar

A

$A$ a la matriz de densidad no tiene sentido.

Permítanme también señalar que $A(r)$ y $\ln(r)$ difieren en su comportamiento de crecimiento: Sea $x = \prod_i p_i^{r_i}$ sea un entero con factores primos $p_i$ . Entonces

\begin{aligned} A (X) & = \sum_{i} r_{i} \\ en (X) & = \sum_{i} r_{i} en ({pag}_{i}) \end{aligned}

$\begin{align} A(x) & = \sum_i r_i \\ \ln(x) & = \sum_i r_i \ln(p_i) \end{align}$ y mientras que el logaritmo es una función monótonamente creciente, la función de conteo de primos

A

$A$ no es:

A (3) = 1, A (4) = 2, A (5) = 1

$A(3) = 1,A(4) =2,A(5)=1$ . Entonces, su definición es marcadamente diferente de la definición habitual: su entropía no aumenta monótonamente con los microestados accesibles. En particular, dado que hay infinitos números primos, la función

A

$A$ se comporta cada vez más extrañamente a valores altos de

Ω

$\Omega$ - y en particular caerá a su segundo valor más bajo,

1

$1$ por arbitrariamente alto

Ω

$\Omega$ . Debería ser evidente que esto no modela la termodinámica habitual y, en particular, no puede ser un caso especial de

(1)

$(1)$ . Dices que solo quieres permitir valores especiales para

Ω

$\Omega$ en la que

A

$A$ aumenta monótonamente, pero luego ha restringido nuevamente la validez de su fórmula a sistemas donde

Ω

$\Omega$ se comporta de hecho así (creo que está teniendo una suposición de "gas ideal" o "todas las partículas son indistinguibles" allí).

Todo lo que muestra este ejemplo es que la entropía como función de $\Omega$ no está fijado únicamente por la ecuación funcional $f(x_1x_2) = f(x_1)+f(x_2)$ y $f(1) = 0$ si uno requiere que esto solo se mantenga en los números enteros. La solución $\ln$ se vuelve única si se requiere que la solución sea una función continua en la línea real positiva.

Acordado $\ln(x)$ no es una función monótonamente creciente... $\ln(\Omega)$ es (más o menos) una función monótonamente creciente... ¿Cuál es la diferencia? Recuperar los valores permitidos de $\Omega= \frac{N!}{\prod n_j!}$ ... Teniendo esto en cuenta ... $ln(\Omega) = \ln(N!) - \sum \ln(n_j!)$ No, si nos limitamos a este conjunto de $\Omega$ entonces $\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1)>A(\Omega_2)$
@AnantSaxena: No estoy seguro de lo que quieres decir. Me dirijo a su restricción a valores especiales de $\Omega$ - eso se restringe a ciertos sistemas (ciertamente, los que se encuentran con mayor frecuencia en la termodinámica). Doy varias indicaciones de por qué usar $A$ podría funcionar para esos sistemas, pero no logra generalizar a un panorama más amplio: el de la mecánica de no equilibrio, los sistemas no ergódicos o los sistemas cuánticos, mientras que el $\ln$ generaliza sin esfuerzo. ¿Qué crees que se invalida al respecto?
Lo siento, parece que tenías razón... "Dices que solo quieres permitir valores especiales para $\Omega$ en la que $A$ aumenta monótonamente, pero luego ha restringido nuevamente la validez de su fórmula a sistemas donde $\Omega$ se comporta realmente así"... ¿Tiene alguna idea de casos especiales físicos en mente? (Si es así, ¿le importaría elaborar más?)
Solo un comentario. Según math.stackexchange.com/a/1639781/430082 . Una definición aproximadamente válida de grande $\Omega$ (Microestados) es $\log \log \Omega$

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