La incertidumbre en el momento angular

Question

La incertidumbre en el momento angular

Física
operadores
momento angular
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

V.Vocor

Se sabe que las diferentes componentes espaciales del momento angular no se conmutan entre sí.

[L_{X}, L_{y}] \propto L_{z} [L_{y}, L_{z}] \propto L_{X} [L_{z}, L_{X}] \propto L_{y}

$[L_x,L_y] \propto L_z \\ [L_y,L_z] \propto L_x \\ [L_z,L_x] \propto L_y$ También se sabe que la incertidumbre depende del conmutador.

Δ L_{X} Δ L_{y} \geq \frac{1}{2} | ⟨ [L_{X}, L_{y}] ⟩ |

$\Delta L_x \Delta L_y \geq \frac{1}{2} \lvert \langle[L_x,L_y]\rangle\rvert$ Esto me hace preguntarme. Sabiendo, digamos,

L_{z}

$L_z$ , ¿cómo se pone un número a la incertidumbre en

L_{y}

$L_y$ ?

Para 1D es sencillo.

Δ pag = \frac{ℏ}{Δ X}

$\Delta p = \frac{\hbar}{\Delta x}$ puedo averiguar

Δ x

$\Delta x$ , ancho de la rendija, por ejemplo, y luego conocer la incertidumbre en

p

$p$ .

Sin embargo, para determinar la incertidumbre en $L_y$ , Necesito saber $L_x$ , pero porque sé $L_z$ hay incertidumbre asociada con saber $L_x$ proporcional a $L_y$ , desde $[L_z,L_x] \propto L_y$ . pero no lo sé $L_y$ !

¿Cómo resolverías esto?

Respuestas (1)

La incertidumbre en el momento angular

Valter Moretti · Answer 1

Para el momento angular no hay límite inferior para el producto $(\Delta L_a)_\psi (\Delta L_b)_\psi$ de manera diferente a $x$ y $p$ . De hecho, hay estados $\psi$ tal que $L_a\psi =0$ para $a=x,y,z$ simultáneamente. Me refiero a los estados con $L^2\psi =0$ lo que implica

(Δ L_{a})_{ψ} (Δ L_{b})_{ψ} = 0

$(\Delta L_a)_\psi (\Delta L_b)_\psi=0$ Así que no puedes escribir algo como

(Δ L_{X})_{ψ} (Δ L_{y})_{ψ} \geq k

$(\Delta L_x)_\psi (\Delta L_y)_\psi \geq k$ para cualquier constante

k > 0

$k>0$ independiente del estado

ψ

$\psi$ como pasa por

x

$x$ y

p

$p$ . A partir de este ejemplo, puede ver cómo, en términos generales, existen estados propios simultáneos de observables incompatibles, incluso si no puede encontrar una base ortonormal (Hilbert) de estos vectores.

Si $(\Delta L_x)_\psi =0$ , de hecho no hay constante positiva $k$ semejante $(\Delta L_x)_\psi (\Delta L_y)_\psi \geq k$ porque el producto de cero con cualquier cosa es cero! ¡Pero eso ciertamente no significa que pueda obtener estados propios simultáneos de observables incompatibles!
Nunca lo afirmé. Solo dije que puede haber algunos vectores propios comunes de dos observables incompatibles. Lo que es imposible es una base de Hilbert de vectores propios comunes. Además, en el caso específico, no existe un análogo del principio de incertidumbre aunque los observables son incompatibles.

La incertidumbre en el momento angular

V.Vocor

Respuestas (1)

Valter Moretti

Alfredo

Valter Moretti

¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?

¿Cómo conduce la no conmutatividad a la incertidumbre?

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

¿La incertidumbre es necesariamente distinta de cero para estados no propios?

Estados propios del momento angular orbital en la representación |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

L^xL^x\hat{L}_{x} y L^yL^y\hat{L}_{y} no se desplazan... ¿o sí?

Lado derecho del principio de incertidumbre: ¿cuándo es un número y cuándo un valor esperado?

Determinación del giro de la función de onda