La imposibilidad (o posibilidad) de resolver el problema del cuerpo NNN

Se puede obtener la solución de un 2 -Problema corporal analíticamente. Sin embargo, entiendo que obtener una solución general a un norte -El problema del cuerpo es imposible.

¿Hay alguna prueba en alguna parte que muestre esta posibilidad/imposibilidad?

Editar: estoy buscando probar o refutar la siguiente declaración:

existe una serie de potencias que resuelve este problema, ya que todos los términos de la serie y la suma de la serie deben converger.

Si tal prueba existe, ¿por qué todavía hay personas que intentan resolver el movimiento de 3 cuerpos bajo la gravedad?
@hwlau, ¿qué quiere decir con "resolver" aquí? ¿Serie de perturbaciones? ¿O una solución analítica? ¿O?
Dado que nuestra computadora nunca será demasiado rápida para tal problema, siempre es valioso mejorar la eficiencia del cálculo numérico. Incluso sabemos que pi es un número irracional, todavía estamos tratando de dar una expresión más larga.
@hwlau: ¿La gente es extraña? =)
@gerry: Nadie busca más dígitos de pi porque necesitan más dígitos. Es un ejercicio ardiente para computadoras grandes o un truco publicitario.
@Ngu: Hay alguna forma de 'solución' para el problema de los tres cuerpos. Sin embargo, ¿existe una 'solución' que converja más rápido que el uso de la simulación para el mismo período de tiempo?
Desde el punto de vista práctico, quiero una 'solución' que converja a la misma velocidad para el t = 10 , 10 2 , 10 3 , . . . . La serie de perturbaciones podría ser una buena 'solución' si puede encontrar una buena función de perturbación.
@hwlau, no lo sé, por eso hago la pregunta aquí.
@hwlau: Es solucionable en ciertos casos especiales. Por ejemplo, es trivial resolver para N=1, y Newton resolvió el caso de N=2 para la gravedad. Hay casos especiales para N=3 que tienen solución. La imposibilidad de una solución general se refiere a una solución que cubriría todos los casos para cada N.

Respuestas (2)

Si bien el Problema de N-cuerpos es caótico, existe una expansión convergente. La expansión de 3 cuerpos fue encontrada por Sundman en 1912, y el problema completo de N cuerpos en 1991 por Wang .

Sin embargo, estas expansiones son bastante inútiles para problemas reales (se requieren millones de términos incluso para tiempos cortos); estás mucho mejor con una integración numérica.

La historia del problema de los 3 cuerpos es en sí misma bastante interesante. Consulte el libro de June Barrow-Green, que incluye un análisis bastante bueno de toda la física relevante, junto con una historia desgarradora.

@reallygoodname, aunque esto recibe algunos votos a favor, pero no veo cómo responde realmente a la pregunta.
@Ngu Soon Hui: La pregunta solicitaba una prueba de la imposibilidad de resolver el problema de n-cuerpos, pero el problema es en realidad solucionable.
@reallygoodname, tienes una prueba de que existe una solución analítica para todos norte ? No niego que este problema es en principio solucionable aplicando técnicas de perturbación o simulaciones numéricas, pero lo que se requiere es la existencia (o inexistencia) de una solución analítica.
@Ngu Soon Hui, ¿qué quiere decir exactamente con análisis?
Una fórmula; puede contener muchos términos pero no debe sumar infinito
Además, si hay una prueba que muestre que para una serie infinita que resuelva el norte -problema del cuerpo y esa serie siempre debe converger, esa también es una respuesta que quiero.
@Ngu: extraña definición de analiticidad.
La prueba está en el artículo de Wang ( adsabs.harvard.edu/abs/1991CeMDA..50...73W ), y en realidad no es tan complicado. Se puede hacer que la serie sea arbitrariamente precisa, aumentando el número de términos en la expansión, aunque el tiempo de validez puede ser finito ya que hay singularidades no regularizables para n > 3. En cuanto a las soluciones que son exactas para todos vez, hay algunas configuraciones muy específicas (altamente simétricas) para las que la gente ha encontrado, creo recordar haber visto una de 12 cuerpos. Sin embargo, estas soluciones no son estables.
@reallygoodname, me temo que su documento solo aborda el caso en el que el momento angular es cero , este es en realidad un caso especial del norte problema del cuerpo; ver la última oración del resumen. Y por lo que leí, alguien (no estoy seguro si es Poincaré o quién) demostró que no podría haber tal solución analítica.
Eso es un poco ambiguo. Resuelve el problema para todo n, y resuelve el caso de momento angular 0 para el problema de 3 cuerpos. El caso 0 fue el único caso excluido de la solución de 1912 de Sundman, que fue la primera en resolver el problema de los 3 cuerpos. El trabajo de Wang es una extensión de los métodos usados ​​por Sundman.
votado a favor por citar el libro de June Barrow-Green sobre Poincaré

Una manera fácil de ver esto es que el problema de N-cuerpos se puede usar, con los potenciales apropiados, para simular una computadora clásica, de modo que a medida que N se vuelve grande, cualquier algoritmo que prediga el comportamiento futuro en tiempos arbitrariamente largos tiene que ser al menos tan complejo desde el punto de vista computacional como una computadora general de cN bits (donde c es la cantidad de bits que puede codificar útilmente por partícula). La suma de series infinitas convergentes también simula una computadora, por lo que no es una interpretación útil de la palabra "resolver". Pero cualquier buena definición de decir "resolver" debería significar que redujo la complejidad computacional de predecir el comportamiento futuro del estado actual, lo que no se puede hacer para una computadora de propósito general.

Estoy de acuerdo. Solo agregaría que sabemos que el problema es caótico para norte > 2 . Lo que esto significa en el contexto de una solución en serie es que si cambia la cantidad de bits utilizados para representar los datos, la respuesta que obtiene difiere exponencialmente de la que tiene la cantidad original de bits.
@PaulJ.Gans: El problema tiene sectores caóticos para n>2, pero estos no llenan la mayor parte del espacio de fase. Las regiones KAM son más grandes, al menos hasta que llegas a algunas docenas de partículas, y luego el comportamiento genérico tiende a volverse ergódico. Esto es algo que la gente nota cuando hace simulaciones.
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