¿Podría el período de rotación Tierra-Luna ser igual a un año terrestre?

Esa configuración no es estable, ya que la luna tendría que estar en el punto Lagrangiano. $L_1$o$L_2$, que no son estables. Cualquier perturbación causaría una desviación exagerada de esas órbitas, terminando en un sistema de tierra y luna girando uno alrededor del otro, o la Tierra y la luna girando alrededor del sol por separado.

Este es el fenómeno que se observa en las galaxias espirales, donde la velocidad circular a diferentes distancias del centro de la galaxia es la misma (prácticamente). Para explicar este fenómeno, los físicos tuvieron que proponer la hipótesis de la materia oscura. Entonces, puede ser con un montón de materia oscura con el tipo correcto de propagación, es teóricamente posible.

Debido a que los físicos tuvieron que idear la hipótesis de la materia oscura para explicar este fenómeno, puedes apostar con seguridad que no se puede explicar de otra manera.

Podría funcionar: si bien es un problema de tres cuerpos, es solucionable.

Puedes hacer una aproximación manual simplemente mirando el sistema tierra-luna y calculando la distancia que la luna necesita estar de la tierra para tener un período orbital de 1 año. Esto resulta ser alrededor de 0,014 AU, que es lo suficientemente grande como para sugerir que el campo gravitatorio del sol es suficiente para perturbar las cosas en un pequeño porcentaje entre los extremos opuestos de la órbita.

Pero esa es una manera muy desordenada de lidiar con eso. Hay una solución más limpia. Las tres masas (que trataré como masas puntuales) están en una línea, y todas orbitan el centro de masa del sistema tierra-luna-sol. Para simplificar las cosas, supongamos que el sol está justo en el centro de masa; esto no va a hacer mucha diferencia.

Elijamos el escenario donde la tierra está más cerca del sol que la luna. En efecto entonces, tenemos la tierra a distancia$r_{e}$y la luna a lo lejos$r_{m}$orbitando con el mismo período, y todas las fuerzas involucradas son convenientemente completamente radiales.

La tierra está orbitando en$r_e$con una fuerza centrípeta dada por la fuerza gravitatoria del sol menos la de la luna. La luna está orbitando en$r_m$con una fuerza centrípeta dada por la fuerza gravitacional del sol más la tierra.

$m_e\omega^2 r_e=\frac{Gm_s m_e}{{r_e}^{2}}-\frac{Gm_m m_e}{(r_m-r_e)^{2}}$

$m_m\omega^2 r_m=\frac{Gm_s m_m}{{r_m}^{2}}+\frac{Gm_m m_e}{(r_m-r_e)^{2}}$

Como se conocen las diversas masas, y$\omega$es la velocidad angular que es la misma para ambos objetos (por definición del problema) y$\omega=\frac{2\pi}{T}$dónde$T$es el período orbital en segundos (1 año, por el bien del argumento). Entonces necesitas resolver el par de ecuaciones para encontrar$r_e$y$r_m$.

Puede arrojar la órbita del sol alrededor del centro de masa del sistema solar para obtener una solución exacta para las partículas puntuales. Es una buena solución de equilibrio, pero puede o no ser un equilibrio estable.

El mundo real es más complejo, por supuesto, con cuerpos reales que no son masas puntuales, otros cuerpos que existen en el sistema solar, campos magnéticos, efectos de marea y otras cosas divertidas que poco a poco podrían marcar la diferencia.