¿La energía oscura alrededor de un agujero negro está localmente curvada?

Respuesta corta: sí. Pero, ¿qué significan ahora las "líneas rectas" originales? no se pueden definir de forma agradable en la nueva métrica, porque las entidades geométricas naturales ahora son geodésicas, y no existe un cuadrilátero de cuatro ángulos rectos (aparte de una posible elección especial de esquinas). Debes definir tu volumen de forma correcta (ver más abajo)

Respuesta larga: para responder a su pregunta en términos precisos, deberíamos tener la métrica de un universo con una constante cosmológica positiva y un agujero negro, ¡que en realidad no es difícil de resolver!

La solución es una amalgama no lineal de métricas de De Sitter y Schwarzschild:

$ds^2 = - \left( 1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right) dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 \right)} + r^2 d\Omega$

(nota: si desea que el tamaño de su agujero negro sea considerablemente más pequeño que su universo, puede expandir la parte espacial de la métrica$d\,\vec{r}^2 = d\,\vec{r}^2_{schwarzschild} - \frac{\Lambda}{3}\frac{r^2 dr^2}{\left(1 - \frac{r_s}{r} \right)^2}$)

Ahora, para encontrar la cantidad de energía oscura en cualquier volumen espacial, debe especificar el límite de este elemento de volumen en un marco de referencia específico, porque el volumen espacial "no es un invariante relativista". El marco natural para nosotros es el de un observador que se mueve con el agujero negro y se aleja asintóticamente de él. Para tal observador, ahora define el límite de un volumen$\mathcal{V}$, y calcular este último como

$\mathcal{V} = \int_\mathcal{V}\frac{r^2 drd\Omega}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r} - \frac{\Lambda}{3} r^2 }}$

Finalmente la cantidad de energía oscura en un cierto volumen definido apropiadamente es$E = \Lambda\mathcal{V}$

Nota importante: este sistema de coordenadas es natural para definir un volumen especificado por distancias específicas, por ejemplo, desde la singularidad del agujero negro (límite del cual se define como una superficie$r(\theta,\phi)$), por eso la respuesta es independiente del tiempo. Sin embargo, si desea definir el volumen por la posición de las estrellas que se mueven en el sitter, el volumen aumentará exponencialmente como$e^{\Lambda t}$, y tendrá que usar un sistema de coordenadas diferente al presentado, conveniente para elegir intervalos de tiempo, y tendrá, como es típico en el espacio de sitter, una cantidad exponencialmente creciente de energía oscura en un volumen definido de esta manera.