La derivación de la ecuación de advección-difusión usa ∇⋅(cv⃗ )=(v⃗ ⋅∇)c∇⋅(cv→)=(v→⋅∇)c\nabla\cdot(c\vec{v})=(\ vec{v}\cdot\nabla)c. ¿Por qué no importa el orden de la derivada?

En una derivación de la ecuación de advección-difusión, se explota que ∇ → ⋅ ( C v → ) = ( v → ⋅ ∇ → ) C , dónde v → y c respectivamente son la velocidad y la concentración. ¿Cómo puede no importar el orden del gradiente?

Resuélvelo: usa la regla de la cadena para expandir el lado izquierdo. ¿Qué términos obtienes? ¿Qué supuestos hay en tus ecuaciones que te permiten mantener o eliminar términos?

Respuestas (1)

Si C y v → es un par arbitrario de funciones, entonces la identidad que escribiste es falsa; en su lugar debe leer

∇ ⋅ ( C v → ) = ( v → ⋅ ∇ ) C + C ( ∇ ⋅ v → ) ,
lo cual es fácil de probar por componentes.

Si su texto no tiene en cuenta el segundo término, entonces presumiblemente están trabajando en condiciones en las que ∇ ⋅ v → = 0 . Esa es una suposición natural si v → es el campo de velocidad de un flujo estático incompresible, pero deberá verificar su texto para saber exactamente qué razonamiento subyace a esa suposición.

La derivación de la ecuación de advección-difusión usa ∇⋅(cv⃗ )=(v⃗ ⋅∇)c∇⋅(cv→)=(v→⋅∇)c\nabla\cdot(c\vec{v})=(\ vec{v}\cdot\nabla)c. ¿Por qué no importa el orden de la derivada?
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