¿Por qué el principio de incertidumbre no contradice la existencia de estados de momento de ángulo definido?

El problema aquí es que en este momento todavía no hay un operador de fase autoadjunto "legítimo". Al formular el problema, se supone que$\hat \phi$y$\hat L_z$tendría las mismas relaciones de conmutación que$\hat x$y$\hat p$, y en particular dado que$\hat L_z\mapsto -i\hbar d/d\phi$la$\hat \phi$operador sería la multiplicación de una función arbitraria$f(\phi)$por$\phi$, es decir

$$\hat L_zf(\phi)=-i\hbar \frac{df}{d\phi}\, ,\qquad \hat \phi f(\phi)= \phi f(\phi)$$ Hasta ahora todo está bien excepto que, cuando se trata de la condición de contorno, debemos tener $f(\phi+2\pi)=f(\phi)$. Sin embargo, la función $\phi f(\phi)$no satisface esto. Como resultado, la acción de un supuesto $\hat \phi$como se define arriba toma una función "legal" $f(\phi)$que satisface las condiciones de contorno a uno "ilegal" $\phi f(\phi)$, y hacer $\hat \phi$NO auto-adjunto (lo que significa problemas).

La relación de incertidumbre asume que los operadores involucrados son autoadjuntos. Dado que (hasta el momento) no existe una definición conocida de$\hat \phi$que lo hace auto-adjunto, la cantidad$\Delta \phi$no se puede calcular de la manera habitual y, de hecho, no está necesariamente bien definido para estados arbitrarios. En otras palabras, no hay ninguna razón matemática para creer que$\Delta \phi\Delta L_z\ge \hbar /2$.

De hecho, un "problema" obvio con su expresión se obtiene tomando$f(\phi)$ser un estado propio de$\hat L_z$. Entonces claramente$\Delta L_z=0$por lo que la varianza putativa$\Delta \phi$tendría que ser arbitrariamente grande, lo cual es imposible dado que$\phi$físicamente va desde$0$a$2\pi$.

El problema de construir un operador de fase autoadjunto es antiguo. Ha sido objeto de varias preguntas en este sitio, incluida esta . Encontrar una buena definición de un operador de fase sigue siendo un problema de investigación abierto.

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Editar: se agregaron algunas aclaraciones después de una consulta.

Para complementar la respuesta de ZeroTheHero, es posible deducir relaciones de incertidumbre usando los operadores$\cos\phi$y$\sin\phi$porque esos ahora obtienen la periodicidad necesaria para coincidir con lo que$L_z$suponer. Véase la sección 4 en [1].

He aquí un resumen de los principales resultados. Las relaciones de conmutación son (en$\hbar=1$unidades),

$$\begin{align} [\sin\phi, L_z] &= i\cos\phi,\\ [\cos\phi, L_z] &= -i\sin\phi, \end{align}$$

dando lugar a las relaciones de incertidumbre

$$\begin{align} (\Delta L_z)^2(\Delta\sin\phi)^2 &\ge \frac{1}{4}\langle\cos\phi\rangle^2,\\ (\Delta L_z)^2(\Delta\cos\phi)^2 &\ge \frac{1}{4}\langle\sin\phi\rangle^2. \end{align}$$

Pero la belleza de este enfoque es que al elegir un estado suficientemente localizado alrededor de un ángulo$\phi_0$, realizando una expansión de Taylor en$\delta\phi=\phi-\phi_0$, degeneran a

$$\Delta L_z \sqrt{\langle(\delta\phi)^2\rangle} \ge \frac{1}{2},$$

que es una especie de relación de incertidumbre con$\Delta\phi = \sqrt{\langle(\delta\phi)^2\rangle}$. Sin embargo, uno aproximado.

[1] P. Carruthers y Michael Martin Nieto, Variables de fase y ángulo en mecánica cuántica, Rev. Mod. física 40 (1968), 411–440

Daré dos respuestas, una ingenua y una altruista. La respuesta ingenua es que$\Delta\phi$ puede ser mayor que$2\pi$. Considere la derivación ingenua de la relación de incertidumbre ángulo/momento angular a partir de la posición/momento lineal uno: simplemente multiplicamos$\Delta\phi=\Delta x/R$y$\Delta L=R\,\Delta p$, dónde$R$es el radio de giro. Ahora el tema se aclara$\Delta x/R$todavía puede tomar valores arbitrariamente grandes, es solo el hecho de que los interpretamos módulo$2\pi$eso los hace "acotados". En otras palabras, el ángulo "verdadero" debe medirse en la cobertura universal del círculo, que es$\mathbb{R}$, y puede tomar valores arbitrariamente grandes, ya que explica toda la historia del movimiento desde la posición "inicial".

La explicación anterior es demasiado clásica para funcionar en el sentido riguroso. Para ser rigurosos, tenemos que reemplazar los ángulos clásicos y los momentos angulares con operadores autoadjuntos, que satisfacen la relación de conmutación canónica$[\hat L_z,\hat\phi]=i\hbar$(es decir, son "conjugados"). Los problemas con la definición de tal par se discuten en la teoría cuántica de los ángulos de rotación de Barnett y Pegg , de la cual cito:

Si representamos un operador de momento angular como$\hat L_z=-i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}$y el operador de ángulo como multiplicación por$P$, entonces el conmutador (2.4) está satisfecho. Sin embargo, esta representación del operador de ángulo causa problemas. Si$u(\phi)$es una función de onda periódica, entonces$\phi u(\phi)$no será y por lo tanto está fuera del espacio de estado de momento angular. Judge y Lewis se dieron cuenta de que los valores propios de un operador de ángulo con buen comportamiento tendrían que restringirse a un$2\pi$intervalo. Su solución fue modificar el operador de ángulo para que correspondiera a la multiplicación por$\phi$además de una serie de funciones de paso. Estas funciones de paso cambian bruscamente el ángulo por$2\pi$en puntos apropiados. La relación de conmutación resultante entre este operador y$\hat L$, tiene un$\delta$-término de función además del$i\hbar$término del conmutador (2.4)...

Otro enfoque es evitar el problema de los valores múltiples al no tratar con un operador de ángulo hermitiano en absoluto, sino solo con funciones periódicas del operador de ángulo. Naturalmente, este enfoque no nos permite investigar las propiedades del operador de ángulo en sí. "

El segundo párrafo es la versión rigurosa de la ingenua respuesta anterior. Para los operadores de tipo Judge-Lewis, la relación de incertidumbre se modifica en$\Delta\hat\phi \Delta \hat L_z \gtrsim \frac12\hbar|1-2\pi P|$, dónde$P$es la densidad de probabilidad angular en el límite del rango angular, es decir, en el$\pi$/$-\pi$puntada, donde el$\delta$-Funciones en vivo. En particular, puede haber estados que muestren una discontinuidad en el gradiente en$\pi$, pero los estados de incertidumbre mínima no muestran tal discontinuidad, consulte Principio de incertidumbre para la posición angular y el momento angular de Franke-Arnold et al.