¿La aceleración es causada por la curvatura, el espacio, el tiempo o ambos?

En cierto sentido (régimen) la aceleración es causada por la curvatura del tiempo más que por la curvatura del espacio. En realidad, la curvatura es del espacio-tiempo por lo que, hacer distinciones rígidas no tiene mucho sentido. Sin embargo, si consideras el movimiento de una partícula en caída libre en una región del espacio-tiempo, la ecuación de su historia es la geodésica:

$$\frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2}= - \Gamma^\mu_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\:.$$ Todo aquí se describe en un marco de coordenadas. $x^0=ct, x^1,x^2,x^3$donde la métrica es aproximadamente la plana $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+ h_{\mu\nu}$. Es posible probar que bajo aproximaciones físicamente admisibles (campos débiles $|h_{\mu\nu}|<< 1$, campo ``casi estacionario'', velocidades pequeñas con respecto a $c$, etc...) la ecuación escrita se puede aproximar con

$$\frac{d^2x^{i}}{dt^2} = \frac{c^2}{2} \frac{\partial h_{00}}{\partial x^i}\quad i=1,2,3$$ de modo que, el potencial gravitacional newtoniano que es la causa de la aceleración en la imagen newtoniana, se puede aproximar por $$\varphi(t,\vec{x})= - \frac{c^2}{2} h_{00}(t,\vec{x})\:.\tag{1}$$ recuperar la ecuación newtoniana de movimiento de una partícula en un campo gravitatorio $$\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = - \nabla \varphi(t,\vec{x})$$ (1) es la misma identificación utilizada para calcular el corrimiento al rojo para corregir, por ejemplo, los instrumentos GPS.

Verá que, en esta aproximación semiclásica, donde todavía tiene sentido pensar en términos de aceleración clásica (en lugar de cuatro aceleraciones), lo que realmente importa es la desviación del componente temporal de la métrica de la métrica plana.$\eta_{00}=-1$, los otros componentes juegan un papel insignificante.

Difícilmente soy un experto en GR, por lo que si desea un análisis más técnico, estoy seguro de que otros podrán brindarle uno. Sin embargo, la respuesta a sus preguntas aparentes es bastante sencilla.

No es la curvatura del espacio o la curvatura del tiempo lo que causa las aceleraciones, es la curvatura del espacio-tiempo . Vivimos en un universo de cuatro dimensiones (ignorando las posibles implicaciones de la teoría de cuerdas) que incluye las familiares tres dimensiones espaciales, así como una dimensión temporal. Juntas, estas dimensiones forman el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Si tiene dificultades para visualizar la "curva" del tiempo, trate de no pensar demasiado en ello. Solo tenga en cuenta que en la vecindad de objetos muy masivos, el paso del tiempo se altera en la vecindad. Aunque dudo en poner otra referencia "Interestelar" en Physics.SE, el hecho de que la tasa de paso del tiempo en la vecindad del agujero negro "Gargantua" sea más lenta que la tasa de paso del tiempo en la Tierra demuestra esto. verdad. (Aunque por supuesto se tomó alguna licencia artística).

Este es un comentario extendido sobre la respuesta de Valter, así que vote su respuesta, no esta.

En la Relatividad (General y Especial) no existe una forma única de dividir el espacio-tiempo en espacio y tiempo . Diferentes observadores, que usan diferentes sistemas de coordenadas, no estarán de acuerdo sobre si un vector de cuatro es solo un desplazamiento en el tiempo o solo un desplazamiento en el espacio. Entonces, en esta medida, su pregunta no puede responderse porque es una distinción artificial.

Una pregunta relacionada sería si podemos elegir un sistema de coordenadas en el que la curvatura sea solo en el tiempo o solo en el espacio. Hice una pregunta en este sentido en ¿Qué hace que una coordenada sea curva? . Las respuestas son posiblemente demasiado profundas para esta discusión, pero se reducen a una pregunta tonta :-)

Pero me gustaría retomar el último punto de Valter porque es interesante. Tenemos una tendencia a establecer$c = 1$al escribir la métrica, obtenemos buenas ecuaciones simétricas como:

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Pero escrito en las unidades que usamos para las observaciones diarias, la métrica es realmente:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

dónde$c \approx 3 \times 10^8$EM. Entonces, un desplazamiento en el tiempo de 1 segundo contribuye con un factor de$3 \times 10^8$más al elemento lineal que un desplazamiento de 1 metro. Lo que esto significa es que cuando consideramos campos gravitatorios débiles, como la gravedad de la Tierra, obtenemos una buena aproximación simplemente ignorando la curvatura espacial y considerando solo la curvatura en la coordenada de tiempo.

Esto tiene sentido porque la experiencia nos dice que los objetos lanzados se mueven en curvas (parábolas), pero también que el espacio no es obviamente curvo: si dibujo un círculo y mido la relación entre su circunferencia y su radio, siempre obtengo el valor del espacio plano de$2\pi$. El tiempo obviamente tampoco está curvado porque la curvatura es pequeña (aunque los relojes atómicos pueden medirla), pero una vez que lo multiplicas por$3 \times 10^8$el efecto es lo suficientemente grande como para hacer que los objetos se muevan en parábolas.

Un día escribiré un Q/A canónico explicando por qué los objetos aceleran hacia el centro de la Tierra. De hecho, comencé esto un par de veces, pero encontrar una forma de describir la física que sea universalmente accesible ha resultado ser un desafío hasta ahora.