¿Cómo explica la relatividad la gravedad, sin asumir la gravedad?

¿Por qué no quieres asumir la gravedad? La gravedad es un hecho experimental, un punto de partida para hacer física. La Relatividad General es una teoría geométrica de la gravedad, construida sobre la base de la Relatividad Especial y teniendo siempre presente que debe recuperar la teoría newtoniana no relativista del campo gravitatorio.

El "pull hacia abajo" es una desviación del espacio-tiempo plano de Minkowski, gobernado por las ecuaciones de campo de Einstein. Y, en mi opinión, una analogía no tan buena porque es bastante difícil imaginar cómo reducir el tiempo.

pero ellos mismos asumen una fuerza de "tracción hacia abajo".

Las imágenes de láminas planas "tiradas hacia abajo" donde están los planetas no reflejan el hecho de que la curvatura del espacio-tiempo es una curvatura intrínseca que se mide por la desviación geodésica.

Lo que se ha hecho, para ayudar a visualizar la curvatura espacial, es tomar un corte espacial bidimensional y luego incrustarlo en un espacio ficticio 3D plano donde la curvatura intrínseca del corte se representa como una superficie 2D extrínsecamente curvada.

Un buen ejemplo de cómo se hace esto para una estrella estática esféricamente simétrica se puede encontrar en el libro "Gravitación" en la página 613:

Por lo tanto, represente el espacio tridimensional solo como es en un momento dado, t = constante . Además, en cualquier momento el espacio mismo tiene simetría esférica. En consecuencia, un corte a través del centro,$r=0$, que divide el espacio simétricamente en dos mitades (por ejemplo, la rebanada ecuatorial,$\theta = \pi/2$) tiene la misma geometría bidimensional que cualquier otro corte (cualquier ángulo de inclinación seleccionado, en cualquier acimut) a través del centro. Por lo tanto, limite la atención a la geometría 2 del corte ecuatorial. La geometría de este corte está descrita por el elemento de línea

$$ds^2 = [1-2m(r)/r]^{-1}dr^2 + r^2d\phi^2.$$

Ahora uno puede incrustar esta geometría de espacio curvo bidimensional en la geometría plana de una variedad tridimensional euclidiana.

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Los objetos masivos distorsionan el espacio-tiempo, como se describe en las ecuaciones de campo de Einstein . A su vez, esto hace que las partículas se aceleren: el equivalente GR de$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$son las ecuaciones geodésicas :

$$\frac{\text{d}^2x^\alpha}{\text{d}\lambda^2} + \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\lambda}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\lambda} = 0,\qquad \alpha=0,\ldots 4,$$ con $$\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\alpha\beta} \left(\frac{\partial g_{\beta\mu}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\beta\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\beta}\right),$$ los llamados símbolos de Christoffel , y $g_{\mu\nu}(x^\alpha)$la métrica del espacio-tiempo. En ausencia de materia, $g_{\mu\nu}(x^\alpha)$es constante, de modo que las ecuaciones geodésicas se reducen a $$\frac{\text{d}^2x^\alpha}{\text{d}\lambda^2} = 0,$$ que describen un movimiento constante, como se esperaba.