Confusión acerca de por qué no es práctico deducir un puntero observable a partir de la estructura de los hamiltonianos

Me gustaría dar una respuesta a mi propia pregunta, ya que no estoy satisfecho con las respuestas hasta el momento y me gustaría llevar la discusión en una dirección diferente.

1 . En cuanto a la definición de medio ambiente

Siempre que estemos de acuerdo en que el trío de sistema, aparato y entorno son mecánicos cuánticos (ya les hemos asignado espacios de Hilbert al principio) y sabemos qué grados de libertad trazar al final, no lo sé. No creo que haya ninguna ambigüedad sobre lo que define el medio ambiente. La única pregunta que surge es si el entorno se divide en un entorno "inmediato" y un entorno "remoto". Zurek aborda esto en la Sección III de su artículo original de 1981. Reconoce que el acoplamiento entre estos dos tipos de entorno puede ser fuerte, pero afirma (sin más justificación) que la conclusión final no cambia si incluimos este acoplamiento o no. Todavía ondulado a mano, pero esto lo puedo comprar y aceptar.

2. Por qué la diagonalización del hamiltoniano no produce estados predecibles (estados punteros)

¿Qué son los estados de puntero? Forman la base en la que la matriz de densidad reducida del (sistema+aparato) finalmente se diagonaliza o casi se diagonaliza. Un dúo aislado (sistema+aparato) sufre la ambigüedad de la elección de la base y los observables. Un ejemplo que le gusta dar a Zurek es cómo una puerta CNOT con el sistema como control y el aparato como objetivo, en$\{|0\rangle,|1\rangle\}$base, puede "voltear" de modo que el aparato ahora se convierte en el control y el sistema se convierte en el objetivo en$\{|+\rangle,|-\rangle\} = \{\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}},\frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}\}$base. Después de la decoherencia, ya no tenemos la libertad de elegir la base y estamos restringidos a trabajar con la base del estado del puntero. El acoplamiento aparato-entorno es crucial para determinar la forma de la base del estado del puntero.

Ahora, la pregunta original estaba motivada por preguntar por qué necesitamos criterios más refinados, como minimizar el cambio en la entropía o la pureza de von Neumann ("tamiz de previsibilidad") para buscar estados de puntero en lugar de simplemente mirar el hamiltoniano y diagonlizarlo.

Centrémonos en lo básico y centrémonos en las definiciones. Los estados del puntero viven en el espacio de Hilbert del aparato,$\mathcal{H}_{A}$. El acoplamiento aparato-ambiente,$\hat{H}_{\mathcal{AE}}$, actúa sobre el espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{A} \otimes \mathcal{H}_{E}$. Si conocemos la forma del auto-Hamiltoniano del aparato$\hat{H}_{A}$y el acoplamiento$\hat{H}_{AE}$, en principio podemos diagonalizar el hamiltoniano total$\hat{H}_{A} + \hat{H}_{AE}$. Los estados propios resultantes de la diagonalización viven en el espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{A} \otimes \mathcal{H}_{E}$. Digamos que tienen la forma$|\Psi_{AE}\rangle = \sum_{i} c_i |a_i\rangle_A |\varepsilon_i\rangle_E$, posiblemente después de la descomposición de Schmidt.

Ahora usemos$|\Psi_{AE}\rangle$para construir un puntero candidato observable. Consideramos la estructura de$Tr_{E} |\Psi_{AE}\rangle \langle \Psi_{AE}| = \sum_i |c_i|^2 |a_i \rangle \langle a_i|$. Este observable conmuta con$\hat{H}_A$y si$[\hat{H}_{A},\hat{H}_{AE}] = 0$, se conmuta con$\hat{H}_{AE}$así también el observable es invariante bajo el hamiltoniano total. Si$[\hat{H}_{A},\hat{H}_{AE}] \neq 0$, este observable, que construimos a partir de$|\Psi_{AE}\rangle$y tomando la traza sobre el entorno, no es útil porque ahora cambia en el tiempo bajo la acción del hamiltoniano total.

Entonces, mi punto es que incluso si logramos obtener estados propios del hamiltoniano total, vivir en$\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_E$, es posible que no brinden información sobre qué tipo de observables podemos construir en$\mathcal{H}_A$que pasan a permanecer invariantes bajo la evolución del tiempo.