Recuperando todas las ecuaciones de Maxwell del principio variacional

El Maxwell Lagrangiano está dado por,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

dónde$F_{\mu\nu}$es la intensidad de campo del campo de calibre, o alternativamente puede interpretarse como la curvatura de un$U(1)$Lie álgebra conexión valorada,$A_{\mu}$. Aplicando el principio variacional obtenemos,

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$$

en el vacío En términos de los campos eléctrico y magnético,

$$\nabla \cdot \vec{E}=0 \quad \quad \partial_t \vec{E}=\nabla \times \vec{B}$$

recuperamos dos de las ecuaciones de Maxwell. Nótese, en lenguaje de forma diferencial,$F=dA$, es decir, la curvatura es una forma exacta, y todas las formas exactas también se cierran bajo la operación de diferenciación exterior, es decir

$$dF=d^2 A=0$$

Convirtiendo la expresión anterior en una ecuación tensorial, usando la definición estándar,

$$d\omega^{(n)}_{a_1 \dots a_n}=\frac{1}{n!} \left( \partial_{[a_1} \omega_{\dots a_n]}\right)$$

recupera la forma tensorial de la identidad de Bianchi,

$$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$$

de donde se siguen las dos ecuaciones de Maxwell restantes:

$$\nabla \cdot \vec{B}=0\quad \quad \partial_t \vec{B}=-\nabla\times \vec{E}$$

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Recuerde, dada la conexión de espín$\omega$, por la segunda ecuación estructural de Cartan, la forma de curvatura es,

$$\mathcal{R}=d\omega + \omega \wedge \omega$$

Sin embargo, el grupo Lie$U(1)$es abeliana, y las constantes de estructura desaparecen, por lo tanto, lo anterior se simplifica,

$$\mathcal{R}=d\omega$$

que es completamente análoga a la definición de la fuerza del campo electromagnético. Es posible que otros grupos de indicadores no posean la misma intensidad de campo. Por ejemplo, en cromodinámica cuántica,$SU(3)$es no abeliano, y el término extra no desaparece; en forma de tensor:

$$G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + gf^{a}_{bc}A^{b}_\mu A^{c}_\nu$$