Interpretación física de aplicar un operador unitario a un estado

Tu pregunta es ambigua. Aplicar$\sigma_y$puede significar aplicar una puerta cuántica particular a un qubit o medir$\sigma_y$en ese qubit. La puerta aplicando$\sigma_y$sólo está representado por$\sigma_y$. La puerta que corresponde a medir$\sigma_y$del qubit 1 al qubit 2 es una puerta que realiza un no en el qubit 2 si el qubit 1 está en el estado propio +1 de$\sigma_y$:

$$U = \tfrac{1}{2}(I-\sigma_{y1})\sigma_{x2}+\tfrac{1}{2}(I+\sigma_{y1}).$$ Sería un error muy grave confundir esas dos operaciones porque dan el mismo resultado en un estado particular.

Ahora,$\sigma_y = i\sigma_z\sigma_x$, por lo que es equivalente a un$\sigma_x$seguida de un cambio de fase de$\pi$en$|1\rangle$y un cambio de fase de$\pi/2$en ambos$|0\rangle$y$|1\rangle$. Es posible que pueda hacer esto y repetirlo mediante una serie adecuada de pulsos láser en átomos fríos o algo así. Y puede haber otras formas en que podría ser instanciado. La interpretación física de dicho experimento dependerá de lo que hayas hecho en cada caso, por lo que no habrá una sola interpretación estándar.

cualquier operador,$A$, actuando uno de sus vectores propios,$| \psi_i \rangle$, daré,

$$A | \psi_i \rangle = \lambda_i | \psi_i \rangle,$$ dónde $\lambda_i$es el valor propio correspondiente. Los valores propios de las matrices de Pauli son $\pm 1$correspondiente a girar hacia arriba o hacia abajo en la dirección correspondiente. Los valores propios son posibles resultados de medir un observable, que en general es un operador hermitiano (no unitario). El módulo al cuadrado del producto interno del vector propio correspondiente con el estado de su sistema da la probabilidad de medir ese valor propio como resultado de la medición.

Queremos observables hermitianos porque los resultados de las mediciones deben ser números reales y sus vectores propios deben ser mutuamente ortogonales (de modo que los diferentes resultados sean mutuamente excluyentes, es decir, no se puede medir el giro hacia arriba y hacia abajo al mismo tiempo con el mismo experimento en el mismo sistema)

Un experimento simple de Stern-Gerlach es un ejemplo de medición de espín: http://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment

$\sigma_y$no es un observable, pero$S_y$es, así que centrémonos en eso.

si sabes eso$S_y | \psi \rangle$puede ser escrito$a |\psi\rangle$, dónde$a$es un número, entonces solo te dice que$| \psi \rangle$una medida de la$y$-el componente de giro definitivamente cederá$a$. Eso es todo.

No creo que puedas considerar$S_y|\psi\rangle$una medida de$y$-componente de giro sobre el estado$| \psi \rangle$. ¿Por qué? Porque si opera en un estado general (no propio), no obtiene un solo número agradable, mientras que físicamente obtendrá un solo número.

Una forma realmente ordenada e intuitiva de lidiar con sistemas qubit como el espín es usar la esfera de Bloch. La esfera de Bloch representa el espacio de Hilbert bidimensional en el que el espín$\frac{1}{2}$los vectores de estado viven en una esfera en$\mathbb{R^3}$.

Eche un vistazo a esta página de wikipedia para obtener más información http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere . (En particular la figura.)

Básicamente, puede representar los vectores de estado de espín como puntos antípodas en la esfera de Bloch. Así que si consideras una medida de la$S_y$operador en un estado propio$|\pm y\rangle$

$$S_y |\pm y\rangle=\pm\frac{\hbar}{2}|\pm y\rangle$$ los resultados positivos y negativos corresponden a vectores espaciales reales a lo largo del eje y que apuntan en direcciones positivas o negativas.

Una palabra de advertencia es que la esfera de Bloch solo es útil para espacios de Hilbert bidimensionales y, por lo tanto, no debe usarse en ningún otro lugar. Sin embargo, hay muchas cosas buenas en línea al respecto, así que echaría un vistazo.

Hay dos tipos de operadores que tienen un significado intuitivo cuando los aplicas a un estado:

• Operadores de evolución como$e^{-i\hat H\Delta t/\hbar}$simplemente tome el estado en el momento$t$y te doy el estado en$t+\Delta t$

• Los proyectores le indican cuál será el estado después de realizar una medición. Por ejemplo, suponga que mide un observable$\hat A$en estado$\left|\psi\right>$y sale con el valor 5. Entonces el estado después de medir será$\hat P\left|\psi\right>$con$\hat P$el proyector para el subespacio generado por los vectores propios de$\hat A$cuyo valor propio es 5.