Interpretación de la no unicidad del vacío de QFT en el espacio-tiempo plano para un observador inercial dado; Sin transformación de Lorentz; Sin movimiento acelerado

Question

Interpretación de la no unicidad del vacío de QFT en el espacio-tiempo plano para un observador inercial dado; Sin transformación de Lorentz; Sin movimiento acelerado

Solidificación

Considere un observador inercial en un espacio-tiempo plano con una selección de coordenadas $(t,{\vec x})$ . Este observador puede expandir un campo cuántico $\hat{\phi}$ en más de un conjunto completo de modos ortonormales. Consideremos dos elecciones de este tipo hechas por el observador en cuestión.
En términos de modos $\{f_i\}$ , el campo cuántico se expande como
$\hat{ϕ} (t, \vec{X}) = \sum_{i} ({\hat{a}}_{i} F_{i} + {\hat{a}}_{i}^{†} F_{i}^{*})$ $\hat{\phi}(t,{\vec x})=\sum_i\left(\hat{a}_if_i+\hat{a}_i^\dagger f_i^*\right)$

[a_{j}, a_{j}^{†}] = d_{i j}, [a_{i}, a_{j}] = [a_{i}^{†}, a_{j}^{†}] = 0.

$[a_j,a_j^\dagger]=\delta_{ij}, [a_i,a_j]=[a_i^\dagger, a_j^\dagger]=0.$

Del mismo modo, en términos de modos $\{g_i\}$ , el mismo campo $\hat{\phi}(t,{\vec x})$ se expande como $\hat{ϕ} (t, \vec{X}) = \sum_{i} ({\hat{b}}_{i} {gramo}_{i} + {\hat{b}}_{i}^{†} {gramo}_{i}^{*})$ $\hat{\phi}(t,{\vec x})=\sum_i\left(\hat{b}_ig_i+\hat{b}_i^\dagger g_i^*\right)$

[b_{j}, b_{j}^{†}] = d_{i j}, [b_{i}, b_{j}] = [b_{i}^{†}, b_{j}^{†}] = 0.

$[b_j,b_j^\dagger]=\delta_{ij}, [b_i,b_j]=[b_i^\dagger,b_j^\dagger]=0.$

Se puede demostrar que los modos básicos están relacionados por la transformación de Bogoliubov .
Además, se puede demostrar que el vacío definido por $a_i|0_f\rangle=0$ es diferente del vacío definido por $b_i|0_g\rangle=0$ . En particular, aunque
$⟨ 0_{F} | a_{i}^{†} a_{i} | 0_{F} ⟩ = 0,$ $\langle 0_f|a_i^\dagger a_i|0_f\rangle=0,$ $⟨ 0_{F} | b_{i}^{†} b_{i} | 0_{F} ⟩ \neq 0.$ $\langle 0_f|b_i^\dagger b_i|0_f\rangle\neq 0.$
¿Significa que incluso para un observador inercial dado, la noción de vacío es ambigua? Si hay más de una opción de operadores de aniquilación (p. ej. $a_i$ y $b_i$ , arriba) es posible, ¿cómo podemos definir un vacío único? ¿Existe en absoluto una elección preferida de modos básicos (y, por lo tanto, una elección preferida de operadores de creación y aniquilación) y un vacío preferido?

Tenga en cuenta que no estoy (i) hablando de cambiar de un marco inercial a otro (transformación de Lorentz), (ii) ni de espacio-tiempo curvo u observadores acelerados.

Hice una pregunta relacionada aquí , pero no recibí una respuesta satisfactoria, probablemente porque la pregunta no estaba enfocada y estaba mal redactada.

Pedro Mortensen

Re "el vacío de definido por" (parece algo incomprensible): ¿Quiere decir "el vacío definido por" ? ¿O algo mas?

Solidificación

@PeterMortensen gracias, corregido

Respuestas (3)

Interpretación de la no unicidad del vacío de QFT en el espacio-tiempo plano para un observador inercial dado; Sin transformación de Lorentz; Sin movimiento acelerado

Re "el vacío de definido por" (parece algo incomprensible): ¿Quiere decir "el vacío definido por" ? ¿O algo mas?

anomalía quiral · Answer 1

Valter Moretti dio una gran respuesta desde la perspectiva de las matemáticas rigurosas. Como complemento, agregaré una respuesta desde la perspectiva menos rigurosa de la física para todos los propósitos prácticos (FAPP). El contexto de la pregunta es espacio-tiempo plano con un solo observador, pero la generalidad es una de las claves para la comprensión, así que comenzaré con una perspectiva más amplia y luego la aplicaré a la pregunta.

El enfoque FAPP

El operador de energía es el operador que genera las traslaciones de tiempo.
En la teoría cuántica de campos, el estado de vacío es el estado de menor energía. Puede no ser único debido a cosas como la ruptura espontánea de la simetría, pero ese es un tema diferente. En muchos modelos, incluidos los modelos de campos libres, es único, después de especificar el operador de energía .
El tiempo adecuado depende del observador y es un concepto local (aplicable solo en una vecindad de ese observador), no un concepto global.

La gente a menudo señala que la definición 1 solo tiene sentido en un espacio-tiempo que tiene simetría de traslación temporal, como el espacio-tiempo plano. Pero aquí está el tema FAPP: en la vecindad de cualquier observador dado, siempre podemos definir un hamiltoniano efectivo $H=\int_R T^{00}$ , dónde $T^{ab}$ es el tensor energía-momento, $R$ es una vecindad espacial del observador, y el sistema de coordenadas es tal que la coordenada de "tiempo" (índice $0$ ) concuerda con el tiempo propio del observador. El operador $H$ funciona bien como generador de traslaciones de tiempo en una vecindad de ese observador , por lo que podemos usarlo en la definición 2: cualquier estado $|0\rangle$ que minimiza el valor esperado de $H$ califica como un estado de vacío localmente, para ese observador .

(Advertencia: No podemos dejar que la región de integración local $R$ ser demasiado pequeño, no microscópico, porque la densidad de energía $T^{00}$ no está acotado por debajo en QFT relativista. Cité algunas referencias sobre esto en una respuesta a otra pregunta . En esta respuesta, asumo que la curvatura del espacio-tiempo y la aceleración del observador son lo suficientemente leves como para que $R$ puede ser lo suficientemente grande como para que ese efecto no sea importante).

Las partículas se definen con respecto al estado de vacío. Pero el estado de vacío es el estado que minimiza la energía, y el operador de energía depende del observador (y generalmente solo se define localmente , como el generador de las traducciones de tiempo adecuadas de ese observador localmente ), por lo que las partículas dependen del observador.

Por cierto, la expresión $\int_R T^{00}$ para el operador de energía (local) ilustra la importante idea de una simetría divisible , una simetría que se puede aplicar localmente, solo a una parte de un sistema. Describí la importancia de las simetrías divisibles en otra respuesta . Este es el tipo de "simetría de traducción del tiempo" que importa cuando hablamos de un observador dado, porque los observadores están localizados.

Aplicación a observadores inerciales en espacio-tiempo plano

En el espacio-tiempo plano, gracias a la simetría de traslación del tiempo, el estado de vacío se puede definir globalmente. Y gracias a la simetría de Poincaré, el estado de vacío es el mismo para todos los observadores inerciales, aunque diferentes observadores inerciales tengan diferentes operadores de energía. Por lo tanto, todos los observadores inerciales en el espacio-tiempo plano están de acuerdo con la definición de "partícula".

La pregunta se refiere a un solo observador inercial en el espacio-tiempo plano. La respuesta es que las partículas físicas se definen con respecto al estado de energía más bajo, y el operador de energía se define de manera única, por lo que el estado de energía más bajo también se define de manera única, ignorando cosas como la ruptura espontánea de la simetría, que no viene al caso aquí.

Observador acelerado en espacio-tiempo plano: el efecto Unruh

Por cierto, podemos aplicar este mismo enfoque al famoso efecto Unruh. El efecto Unruh considera un observador que acelera uniformemente en un espacio-tiempo plano. Para un observador que acelera uniformemente, podemos usar el operador que genera impulsos como el operador $K$ que genera traducciones del tiempo propio de ese observador. (El operador de impulso se define globalmente, pero eso no es importante. Lo importante es que se define en una vecindad del observador, donde genera traducciones del tiempo propio de ese observador). Localmente, podemos definir un conjunto de estados que minimiza el valor esperado de una versión local de $K$ . Todos estos estados parecen iguales localmente, para ese observador , y ninguno de estos estados concuerda con el estado de vacío de Minkowski. Es por eso que un observador que acelera uniformemente "ve" partículas en el vacío de Minkowski y, a la inversa, por qué los observadores inerciales "ven" partículas en el vacío del observador que acelera. Esta es solo una aplicación directa de las definiciones 1,2,3, aplicadas localmente en FAPP.

El efecto Hawking

También podemos aplicar este enfoque al aún más famoso efecto Hawking. Espero que eso sea bastante obvio ahora, así que no divagaré al respecto.

Una definición inútil

De vez en cuando, puede encontrar un libro/documento que define el estado de vacío como el estado aniquilado por un conjunto de operadores de aniquilación que se conmutan mutuamente: operadores $a_n$ cuyo conmutador con sus adoints es $[a_n,a_m^\dagger]=\delta_{nm}$ . Los autores son libres de hacer las definiciones que quieran, porque el lenguaje es arbitrario, pero es importante entender que la definición basada en el operador de aniquilación generalmente es completamente diferente a la definición de energía más baja que es estándar en la literatura de la teoría cuántica de campos. Para ver cuán arbitraria es la definición basada en el operador de aniquilación, supongamos que $|\varnothing\rangle$ es el estado satisfactorio $a_n|\varnothing\rangle=0$ para todos $a_n$ , y deja $|\psi\rangle$ ser absolutamente cualquier otro estado. Un operador unitario $U$ satisfactorio $U|\varnothing\rangle=|\psi\rangle$ siempre existe, y los operadores $b_n\equiv U^{-1}a_n U$ satisfacen el mismo tipo de relaciones de conmutación que los operadores originales: $[b_n,b_m^\dagger]=\delta_{nm}$ . Por lo tanto, de acuerdo con la definición basada en el operador de aniquilación, cada estado en el espacio de Hilbert sería un estado de vacío. Esa no es una definición muy útil, pero tampoco es ilegal. Simplemente es diferente... e inútil.

Una definición similar pero más útil.

Dada una coordenada de tiempo preferida, como una que coincida localmente con el tiempo adecuado de un usuario determinado, podemos definir una frecuencia positiva y una frecuencia negativa . Y dado cualquier operador dependiente del tiempo en la imagen de Heisenberg, podemos definir sus partes de frecuencia positiva y negativa. En las teorías de campo libre, el conjunto estándar de operadores de creación y aniquilación se define como las partes de frecuencia negativa y positiva (respectivamente) de los operadores de campo. Esos operadores de aniquilación aniquilan el estado de energía más bajo, porque la parte de frecuencia positiva de cualquier operador dependiente del tiempo actúa como un operador de reducción de energía. Cuando se aplica a un estado que ya tiene la energía más baja posible, un operador de reducción de energía lo aniquila.

Entonces, si definimos el estado de vacío como el estado aniquilado por las partes de energía negativa de todos los operadores dependientes del tiempo, esto es equivalente a definir el estado de vacío como el estado de energía más baja. En la teoría de campo libre, estos operadores se denominan operadores de aniquilación, pero tenga en cuenta que no se trata de cualquier conjunto antiguo de operadores de aniquilación. Se definen con respecto a un determinado operador de energía (generador de traslaciones de tiempo), y esa es la clave para responder la pregunta.

¿Qué quiere decir con "el operador de energía está definido de forma única"? no es $H_U = U H U^{-1}$ también un hamiltoniano válido para el sistema? Si es así, dado el estado fundamental de $H$ como $\vert E_0\rangle$ , entonces $U \vert E_0 \rangle$ sería el estado fundamental de $H_U$ . La definición del vacío como el estado menos energético parece tan ambigua e "inútil" como la $\hat{a_n}\vert0\rangle =0$ uno. Ambos están atados a la base que elijas. Lo último está ligado a la elección de $\hat{a_n}$ , mientras que el primero está ligado a la elección de $H$ .
@LucasBaldo Considere el espacio-tiempo plano. El hamiltoniano, el generador de traslaciones de tiempo en un sistema de coordenadas dado, es parte de la definición del modelo. Puede usar una transformación unitaria para cambiar la forma en que se representa el modelo en el espacio de Hilbert, lo que, por supuesto, cambia qué vector representa el estado de energía más bajo. Pero el hecho de que los operadores satisfagan las relaciones de conmutación que se parecen a las canónicas no significa que estén relacionados con las traducciones de energía o tiempo de manera significativa.
Me parece que te enfrentas a varios problemas ficticios (en cierto sentido) debido a la formulación del espacio de Hilbert... En este caso, el enfoque algebraico realmente ayuda
@ValterMoretti Estoy familiarizado con el enfoque algebraico, al menos con los principios básicos de las versiones haag-kastler y haag-araki, y mi perspectiva se ha visto fuertemente influenciada por él. ¿Puedes aclarar a qué te refieres con problemas ficticios?
Todos los problemas (no suyos) relacionados con representaciones unitarias equivalentes, por ejemplo... Creo que el problema está aquí: cuántos estados puros algebraicos casi libres existen que son estados fundamentales con respecto a un grupo de parámetros de automorfismos de * álgebra de los operadores del campo bosónico? Respuesta, a lo sumo una.
@Chiral Anomaly, no entendí la conexión entre la primera (hasta "... el estado de energía más bajo") y la última parte de su respuesta ("Pero solo porque..."). ¿Podría aclarar más?
@ValterMoretti Correcto, para automorfismos de toda el álgebra. Pero un observador local solo tiene acceso a observables locales en su propio vecindario, razón por la cual describí un hamiltoniano efectivo que solo integra el tensor de tensión-energía sobre alguna región local delimitada. Un estado que (aproximadamente) minimiza el valor esperado de ese operador bien podría estar vacío en lo que respecta a ese observador, pero no es único porque aún puede contener objetos materiales en otro lugar, muy lejos.
@ValterMoretti Por supuesto, no podemos permitir que la región de integración local sea demasiado pequeña (no microscópica), porque la densidad de energía no está limitada por debajo en QFT.
@LucasBaldo No lo dije muy bien. Considere un modelo dado, con un hamiltoniano dado y una representación espacial de Hilbert dada. Para cualquier vector de estado en ese espacio de Hilbert, podemos construir un conjunto de operadores que aniquilen ese estado y cuyos conmutadores con sus adjuntos parezcan las relaciones habituales de creación/aniquilación. Por lo tanto, esa no puede ser una definición útil del estado de vacío del modelo. Vincular la definición a una integral apropiada del tensor de energía de tensión (por ejemplo, hamiltoniano) lo hace útil.
@Anomalía quiral. Ah, gracias por explicar. Creo que ahora veo tu punto, y cómo choca con lo que tenía en mente. Creo que lo que hace útil la definición como un estado que es aniquilado por un conjunto de operadores es que esos no son cualquier conjunto de operadores, sino el conjunto de operadores que diagonalizan el hamiltoniano: $\hat{H} = \sum{E_n \hat{a}_n^{\dagger} \hat{a}_n}$ . Si cambia a una base diferente de operadores $\hat{b}_n= U\hat{a}_nU^{-1}$ , también tienes que transformar el hamiltoniano de la misma manera.
Así, el nuevo estado fundamental sigue siendo el vacío en ambos sentidos (mínimo de energía y aniquilado por todos los operadores). Espero que esto aclare por qué creo que ambas definiciones son equivalentes.
@LucasBaldo Sí, eso tiene mucho sentido. Lo dijiste bien. Intenté (mal) abordar el problema de los diferentes operadores de aniquilación porque la pregunta proviene del hecho de que un espacio-tiempo curvo genérico no tiene simetría de traducción de tiempo (global), por lo que no hay un operador de energía inequívoco (global) en el sentido habitual. Diferentes observadores pueden definir sus propios operadores de energía locales, pero los estados de vacío correspondientes son diferentes. Lo que parece el vacío para un observador puede parecer un no-vacío para otro. Por lo tanto, depende del observador, pero aún está vinculado a los operadores de energía.
Veo. Tiene sentido. QFT es un tema tan complejo y todavía tengo mucho que aprender. Es bueno ver las opiniones de otras personas sobre temas como estos. Gracias por la discusión.
@Anomalía quiral. Pensé que el problema se refería a objetos globales, ya que los marcos de referencia inerciales son globales en SR, sin embargo, sí, también se puede interpretar en un sentido local como lo hizo usted.
@ChiralAnomaly Necesito algunas aclaraciones más de usted. ¿Puede usted ayudar? Lo siento por preguntar esto tan tarde. En la pregunta, definí dos tipos de modos. $\{f_i\}$ y $\{g_i\}$ utilizado por el mismo observador inercial. Luego escribí que los operadores $a_i$ y $b_i$ están relacionados por la transformación de Bogoliubov. Ahora me pregunto si esto es realmente cierto. ¿Algún comentario? No puedo recordar por qué dije eso. Sé que esto es cierto para dos observadores diferentes en un espacio-tiempo curvo. Pero el escenario que considero es mucho más simple: solo un observador inercial que usa dos bases diferentes $\{f_i\}$ y $\{g_i\}$ .
@ChiralAnomaly Si tiene la amabilidad de comentar sobre esto, se lo agradeceré mucho.
@ mithusengupta123 Por "modos ... utilizados por el mismo observador intertial [en el espacio-tiempo plano]", supongo que quiere decir que tienen frecuencias bien definidas con respecto a la coordenada de tiempo que generalmente asociamos con ese observador. Entonces la transf'n de Bogoliubov que relaciona los dos conjuntos de modos $\{f_i\}$ y $\{g_i\}$ es trivial en el sentido de que no mezcla frecuencias positivas y negativas entre sí, por lo que el mismo estado de vacío funciona igual de bien para ambos. Como ejemplo, $\{f_i\}$ podrían ser ondas planas y $\{g_i\}$ podrían ser ondas esféricas, ambas definidas con respecto a la misma coordenada de tiempo.
@ChiralAnomaly Acerca de la sección "una definición inútil". ¿Es cierto que dos estados cualesquiera en el espacio de Hilbert están relacionados por un operador unitario U? No parece tan Por ejemplo, el estado fundamental y el primer estado excitado del oscilador armónico están relacionados por $a^\dagger$ que no es un operador unitario.
@mithusengupta123 Es verdad. Dejar $|0\rangle$ y $|1\rangle$ dos estados cualesquiera con norma unitaria. Incluso si $|1\rangle\propto a^\dagger|0\rangle$ para un operador no unitario $a^\dagger$ , siempre también tenemos $|1\rangle=U|0\rangle$ para un operador unitario $U$ . Prueba: definir $U$ por la condición de que $U|\psi\rangle=|\psi\rangle$ para todos los estados $|\psi\rangle$ que son ortogonales a ambos $|1\rangle$ y $|0\rangle$ , y por las condiciones $U|0\rangle=|1\rangle$ y $U|1\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$ con $b=\langle 0|1\rangle - a\langle 1|0\rangle$ .

Valter Moretti · Answer 2

En primer lugar, se dice que un estado del tipo que usted considera es gaussiano o casi libre . Estos estados están completamente definidos por su función de dos puntos $\omega(t_x,x,t_y,y)$ -- que se supone que define una bi-distribución positiva y cuya parte antisimétrica está fijada por el CCR estándar -- usando la regla de Wick para calcular el par $n$ -funciones (siendo las impares $0$ ). Subrayo que la función de dos puntos define intrínsecamente un estado gaussiano sin referirse a una estructura espacial de Fock explícita que es una estructura definida a posteriori hasta transformaciones unitarias. En el caso de la función de dos puntos de un estado gaussiano,

(a) el espacio de Hilbert es un espacio de Fock,

(b) la representación operativa de $\phi$ es el estándar,

(C) $\omega(t_x,x,t_y,y)$ es exactamente el "valor esperado" del vector de vacío del espacio de Fock como sugiere la notación

ω (t_{X}, X, t_{y}, y) = ⟨ 0 | ϕ (t_{X}, X) ϕ (t_{y}, y) ⟩ | 0 ⟩ .

$\omega(t_x,x,t_y,y) = \langle 0| \phi(t_x,x)\phi(t_y,y)\rangle |0\rangle\:.$

Un resultado de unicidad surge tan pronto como se requiere que la función de dos puntos (y por lo tanto el vacío) tenga buenas propiedades con respecto a la traducción del tiempo referida al marco de referencia considerado y un par de otros requisitos físicamente significativos.

(1) La función de dos puntos es invariante bajo desplazamientos de tiempo

ω (t_{X} + T, X, t_{y} + T, y) = ω (t_{X}, X, t_{y}, y) para cada T \in R

$\omega(t_x+T,x,t_y+T,y) = \omega(t_x,x,t_y,y) \quad \mbox{for every $T\in \mathbb{R}$}$

(2) En el espacio de Fock la traducción del tiempo es implementada por un operador hamiltoniano $H$ tal que su espectro es no negativo y $|0\rangle$ es el único vector propio cero de $H$ hasta fases.

(3) La representación del álgebra de campos es irreducible.

Sólo hay una función de dos puntos que satisface dichas hipótesis.

En realidad (1) y un requisito de continuidad físicamente natural implican la existencia del generador $H$ , por lo que (2) solo importa en relación con el espectro y la propiedad del valor propio.

En el espacio-tiempo de Minkowski, al activar la invariancia de Poincaré, este estado debe coincidir con el estado de vacío analógico de cualquier otro marco inercial.

Vale la pena enfatizar que, al abandonar la solicitud de tratar con estados gaussianos, la imagen cambia drásticamente y el resultado ya no es válido en general.

La configuración apropiada para probar la afirmación anterior es la formulación algebraica de la teoría cuántica de campos. El resultado mencionado fue establecido por B.Kay [1] de una manera bastante general, por ejemplo, en espacio-tiempo curvo y otros contextos (lo usamos, por ejemplo, para definir estados fundamentales en el límite similar a la luz de espacio-tiempos asintóticamente planos [2] y en la construcción del estado Unruh en el espacio-tiempo Kruskal [3]),

[1] BS Kay, Un resultado único en el enfoque Segal-Weinless de los campos lineales de Bose , J. Matemáticas. Phys.20, 1712 (1979)

[2] V.Moretti: teoremas de unicidad para estados invariantes de BMS de QFT escalar en el límite nulo de espaciotiempos asintóticamente planos y correspondencia de álgebra observable de límite masivo Commun. Matemáticas. física 268, 727 (2006).

[3] C. Dappiaggi, V. Moretti y N. Pinamonti: construcción rigurosa y propiedad de Hadamard del estado de Unruh en el espacio-tiempo de Schwarzschild. Adv. teor. Matemáticas. física 15, volumen 2, 355-448 (2011)

lucas baldo · Answer 3

Otros ya han brindado una discusión profunda sobre los detalles del problema, pero quería agregar un enfoque más simple a su duda.

El problema con el uso de la definición de vacío como el estado que es destruido por todos los operadores de aniquilación es que esto no es cierto para ningún conjunto de operadores, sino específicamente para el conjunto de operadores que diagonaliza el hamiltoniano.

en forma diagonal $\hat{H}$ Se puede escribir como

\begin{aligned} \hat{H} = \sum_{norte} {mi}_{norte} {\hat{a}}_{norte}^{†} {\hat{a}}_{norte}, \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} = \sum_n E_n \hat{a}_n^{\dagger} \hat{a}_n, \end{align}$ dónde

E_{n} > 0

$E_n>0$ .

Es sencillo comprobar ese estado. $\vert \psi\rangle$ que satisface $\hat{a}_n \vert \psi\rangle= 0$ para todos $\hat{a}_n$ es el estado con mínima energía (que es la propiedad fundamental del vacío).

Tenga en cuenta que, debido a esto, no hay ambigüedad para el estado de vacío porque el conjunto de operadores que diagonalizan el hamiltoniano es único (dado que no hay degeneración presente), aparte de una fase global.

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