Horizonte y radiación de Unruh para un período finito de aceleración

Me parece que esta pregunta es bastante trivial, así que espero no estar pasando nada por alto.

Para que se forme un horizonte, el observador debe ser "lo más parecido a la luz posible" (de lo contrario, la pendiente de su línea de universo será de más de 45 grados y la unión de sus conos de luz anteriores cubrirá todo el universo). Y debido a que no hay otra forma de lograr eso que solo asintóticamente acelerando indefinidamente, creo que su pregunta está resuelta.

La pregunta parece apuntar a la pregunta de si uno puede o no "activar" el efecto Unruh. Por supuesto, esto tiene alguna relevancia experimental, ya que si lo probamos con partículas altamente aceleradas, entonces tenemos que preparar un sistema donde se inicie la aceleración. Entonces esta pregunta está relacionada con otros problemas divertidos, como la física que genera un agujero negro. La solución exacta es una solución eterna, pero un agujero negro astrofísico es generado por la implosión de un núcleo estelar.

Un observador acelerado medirá un fondo térmico de radiación en el gráfico de Rindler, que define cuñas en un espacio-tiempo plano. La cuña de Rindler es una región con la que un observador acelerado puede interactuar causalmente por completo. Considere el gráfico de coordenadas cartesianas

$$ds^2~=~-dT^2~+~dX^2~+~dY^2~+~dZ^2,$$ por $0~<~X~<~\infty$y $-X~<~T~<~X$. Esta rebanada de espacio-tiempo es una cuña de Rindler, y el observador acelerado está en las coordenadas transformadas, $$T~=~x~\mathrm{sinh}(t),~X~=~x~\mathrm{cosh}(t),~y~=~y,~Z~=~z,$$ por lo que el elemento de línea de Minkowski es $$ds^2~=~-x^2dt^2~+~dx^2~+~dy^2~+~dz^2,~~0~<~x~<~\infty,~-\infty~<~t,~y,~z~<~\infty.$$

En el gráfico de Rindler, las proyecciones de geodésicas nulas sobre una hipersuperficie espacial son arcos semicirculares. Un observador muy acelerado observará un rayo láser doblado en un arco, al igual que un proyectil en este marco se moverá en una curva. Un vector Killing define una foliación de superficies espaciales ortogonales a marcos estáticos. Esta es una métrica en estas superficies espaciales según una transformación conforme de la métrica original, definida como la métrica de Fermat. Por un tiempo fijo$t~=~0$el elemento de línea

$$ds^2~=~g_{tt}dt^2~+~g_{ij}dx^idx^j,$$ da el elemento de línea de Fermat $$d\sigma^2~=~{{g_{ij}}\over{g_{tt}}}dx^idx^j.$$ El vector de matar $\xi_t~=~\partial_t$define una foliación de estas superficies, por lo que el espacio-tiempo estático es una solución de vacío trivial para la ecuación de campo de Einstein. La métrica de Fermat para los observadores de Rindler es $$d\sigma^2~=~x^{-2}(dx^2~+~dy^2~+~dz^2),~0~<~x~<~\infty.~-\infty~<~\{y,~z\}~<~\infty,$$ que es el tres espacio hiperbólico ${\cal H}^3$en la mitad superior del espacio. La proyección sobre $z~=~0$es el medio lugar de Poincaré ${\cal H}^2$con geodésicas semicirculares. Este espacio es un mapa conforme desde el plano ${\mathbb R}^2$.

La geometría hiperbólica del espacio-tiempo reducido a dos dimensiones da al propagador

$$G(X,~X^\prime)~=~-{1\over{4\pi^2}}{1\over{(X^\prime_0~-~X_0~-~i\epsilon)^2~-~(X^\prime_i~-~X_i)^2}}$$ para índice de coordenadas $i$elegido. Este propagador tiene el valor $$G(X,~X^\prime)~=~-{1\over {16\pi^2(\alpha~+~1)}}\mathrm{cosech}^2(\Delta t/\alpha~-~i\epsilon/\alpha),$$ por $\alpha$determinado por la hipérbola $X^2~-~T^2~=~\alpha^2$. Este propagador satisface una condición armónica. $(\Delta~-~\lambda)G(X,~X^\prime)$ $=~\delta(X,~X^\prime)$, por $\lambda$un valor propio. Este propagador tiene una interpretación térmica o de núcleo de calor. La radiación térmica es lo que detecta el observador acelerado en la cuña de Rindler.

Este espacio-tiempo es muy interesante, porque tiene un análogo con los espacio-tiempos de Sitter y anti-de Sitter. Otra característica es que este es eterno. La solución exacta asume una cuña de Rinder para una masa acelerada u observador en el espacio-tiempo de Minkowski que es perpetuo. Esto es análogo en cierto modo a la eterna solución del agujero negro, que es un tanto ficticia. Sin embargo, la solución eterna se aproxima mucho al estado final de un agujero negro formado por un colapso. De manera similar, si se acelera una partícula para$a$en un momento mucho antes de que uno realice y experimente, entonces la teoría exacta anterior servirá como una aproximación.

{\bf apéndice}

Me siento algo obligado a escribir un apéndice a esto.

La radiación Unruh es algo que sólo es observado por el observador acelerado. Un observador inercial que observara una masa acelerada no detectaría nada de esta radiación. La masa acelerada comienza en$v~=~-c~+~-\epsilon$se acerca al origen donde existe el horizonte dividido de la cuña de Rindler en$v~-~0$y luego acelera hacia$v~=~c~-~\epsilon$en la otra dirección. El horizonte existe en la distancia.$d~=~a/c^2$, por$a$la aceleración, de la masa acelerada. Si estuviera en este marco, este horizonte "aparecería" detrás de su dirección de movimiento. Sería una región de la que no se puede recibir información.

Supongamos que la masa comienza a acelerar en un momento$t~=~0$. Este sería un caso en el que solo existe la mitad superior de la cuña Rindler. Suponemos ahora que la partícula acelera durante un largo período de tiempo, por lo que se aproxima$v~=~c~=~\epsilon$. Las asíntotas de movimiento a una línea nula, y el camino es la mitad de una hipérbola. La ausencia de la asíntota nula inferior tendrá cada vez menos influencia en lo que suceda más adelante. Esta es una declaración física. En primer lugar, si un observador inercial se mueve a una velocidad$u$en la dirección de la masa acelerada, esta masa parecerá acercarse a este observador y luego retroceder. Para$u$lo suficientemente grande, esta masa acelerada parecería venir a este observador con una velocidad$v’~=~-c~+~\delta$donde$\delta~>~\epsilon$, pero no por “tanto”. La masa acelerada se acercará entonces a este observador, se detendrá y acelerará hacia el exterior. Así que “módulo” este pequeño error, esta situación es una buena aproximación al eterno caso acelerado.

La comparación con un agujero negro es con el diagrama de Penrose para la métrica de Schwarzschild. El agujero negro físico elimina la mitad inferior del diagrama que corresponde a un "agujero blanco". La cuña de Rindler es una aproximación del horizonte cercano a un agujero negro. No esperamos ninguna pérdida extraña de radiación de Hawking de un agujero negro físico como resultado de esto.

El horizonte de partículas divide regiones del espacio-tiempo de Minkowski para que el observador acelerado reciba señales de solo una parte del espacio-tiempo. Esta partición causal significa que el observador acelerado mide el estado de vacío como un estado mixto de bosones térmicos. La partición elimina una descripción unitaria del vacío para el observador acelerado. Entonces, lo que el observador inercial ve como un estado de vacío puro con temperatura cero, el observador acelerado lo ve como un vacío más la distribución térmica de la radiación.

Ahora tenemos el problema de detectar esto. El observador inercial no ve la radiación de Unruh. El observador acelerado sí. La temperatura es$T~\simeq~10^{-21}K/cm-sec^{-2}$Entonces necesitas una aceleración bastante seria para observar cualquier cosa en ese cuadro. Claramente, un observador real no puede estar en el marco. Entonces, no solo necesitamos un comienzo para la aceleración, también necesitamos una parada. El objeto en el marco acelerado absorberá esta radiación Unruh, y si el observador inercial puede "atrapar" el objeto, se puede medir su temperatura. Si este objeto es un condensado de Bose Einstein de iones Ba que se aceleran enormemente a través de un alto$\vec E$región de campo, digamos en un capacitor, la radiación Unruh podría ser suficiente para cambiar la fase del BEC.

Escribí un artículo hace bastantes años que obtuvo una "mención de honor" para el Premio Gravity Essay donde propuse exactamente esto. Desafortunadamente, nadie parecía interesado en hacer el experimento, ¡que es para lo que escribí este artículo!

Claramente no podemos tener un objeto acelerado eterno, entonces debemos trabajar con situaciones aproximadas. Sin embargo, algún razonamiento físico debería sugerir fuertemente que la remoción del$\infty$o los aspectos eternos de los resultados de Unruh pueden convertirse en una pequeña perturbación.

Dado que está realmente interesado en el horizonte como parte de un enfoque para comprender el efecto Unruh, abordaré eso en lugar de la Pregunta inicial. ¿Qué recursos experimentales debemos considerar que tiene un observador acelerado A? Si A solo puede hacer mediciones locales en el laboratorio La del diagrama, entonces (en los antecedentes axiomáticos de Wightman o Haag-Kastler) A puede hacer exactamente las mismas deducciones sobre el estado a partir de sus mediciones que un observador que puede usar el laboratorio L0 .Debido al teorema de Reeh-Schlieder, lo que está a una separación similar al espacio de los dos laboratorios es igualmente accesible para ambos (en el sentido de que ambos pueden acercarse tanto como quieran a saber cuáles serían las estadísticas de los resultados de las mediciones en todas partes en Minkowski). espacio haciendo mediciones lo suficientemente precisas en su laboratorio local, suponiendo que se cumplen los axiomas de Wightman o los axiomas de Haag-Kastler). [Hubiera sido mejor no haber dibujado los dos laboratorios con la misma forma, porque las formas no son relevantes para el argumento de Reeh-Schlieder, pero ahora está subido].

Un laboratorio local, sin embargo, no puede decir si el estado del universo está en el folium del estado de vacío, en el folium de un estado térmico, o en el folium de algún otro estado menos simétrico; el folium de un estado altamente simétrico es el conjunto de estados que se encuentran en el espacio de Hilbert que se construye mediante la construcción GNS a partir del estado de vacío (resp. de un estado térmico o de otro tipo) sobre la red de álgebras de observables asociados con regiones del espacio de Minkowski.

Tomo su discusión sobre el efecto Unruh que es provocado por las Respuestas anteriores para reducirse al hecho de que solo si nuestro laboratorio no está confinado a una región finita del espacio-tiempo podemos hacer afirmaciones globales sobre el estado de la universo, a pesar del teorema de Reeh-Schlieder. Posiblemente sólo podríamos determinar si el estado está en el folium de un estado térmico en lugar de en el folium del estado de vacío si nuestro laboratorio tiene una extensión infinita. Teniendo disponible como recurso experimental una partícula que interactúa con el estado de vacío de manera ad-hoc durante toda una trayectoria acelerada, como se propone en Unruh y Wald's Phys. Rev A29,1047 (1984), aunque su extensión es infinita, parece poco probable que sea suficiente para tomar una determinación tan detallada.

No planeo poner los breves comentarios que hice anteriormente sobre la Pregunta en esta Respuesta, sin embargo, informan un poco la perspectiva si elige pensar en el efecto Unruh de la manera en que lo he hecho aquí. Lo anterior es esencialmente tentativo, algo en lo que he estado pensando durante varios años, por lo que me complacería tener sugerencias sobre cómo alguien aquí podría llenar los vacíos o de lo que no he tenido en cuenta para derribarlo.

Finalmente, gracias @dbrane por la pregunta. Dejé de darle +1 porque, aunque parecía definitivamente útil, no parecía lo suficientemente claro, pero cuando me di cuenta de lo estimulante que era , decidí que era mejor para mí que si hubiera sido claro.

PD. El artículo de Hans Halvorson sobre "Teoría algebraica cuántica de campos" (con Michael Mueger), http://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 , es un buen recurso en línea, aunque en muchos sentidos lo lleva un paso más allá. que Haag. Su tratamiento del concepto de folium es más sofisticado que el que Haag introduce en su Física cuántica local, en términos de cuasiequivalencia de estados. Hans es uno de los pocos filósofos de la física que realmente puede estar a la altura de los matemáticos en AQFT.

Si el efecto Unruh es un proceso real, es obvio que apagar la aceleración no hará que la temperatura salte repentinamente a cero. Podemos preguntarnos qué le sucede a un observador inercial eterno que solo se acelera durante el período [-L , L]

Rovelli da una respuesta para un observador con una vida tan finita. https://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074 Como la noción de temperatura solo está bien adaptada para el equilibrio, Rovelli la generaliza.

luego leemos que evoluciona durante su vida incluso si la aceleración es constante. da el valor habitual para τ=0 eq 54 lecturas$β(τ) = 2π/La^2 \sqrt{1 + a^2 L^2} − ch aτ$

aquí β es la temperatura inversa.