Intercambio de Integral y Derivada con respecto a un parámetro de una función delta de Dirac

Por definición , si$T$es una distribución, entonces

$$\langle \partial_x T, f \rangle := - \langle T, \partial_x f \rangle\tag{1}$$ para cada función de prueba $f=f(x)$en $C_0^\infty(\mathbb R^n)$(o también $C^\infty(\mathbb R^n)$si $T$tiene soporte compacto como la función delta). Aquí la derivada es un poco más complicada. Sin embargo, dado que la regla de la cadena para derivar distribuciones compuestas con funciones suaves también es válida para distribuciones (es un teorema general) tenemos $$\partial_t \delta(x-x_0(t)) = \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_{x_0} \delta(x-x_0(t)) = -\frac{dx_0}{dt}|_{x}\cdot \nabla_x \delta(x-x_0(t))\:. \tag{2}$$ En consecuencia, para cada función $f \in C^\infty(\mathbb R^n)$, aplicando (2), $$\int \partial_t \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx = -\int \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_x \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx$$ $$= -\frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot\int \nabla_x\delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx \:.$$ Aplicar (1) $$\int \partial_t \delta(x-x_0(t)) f(x) d^nx = + \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \int \delta(x-x_0(t)) \nabla_x f(x) d^nx$$ $$= \frac{dx_0}{dt}|_{x_0}\cdot \nabla_x f(x)|_{x_0(t)} = \frac{d}{dt}f(x_0(t))\:.$$