¿Cómo interpretar la derivada del potencial delta de Dirac?

$\delta'$es la densidad de carga que genera un dipolo. Es decir, la densidad de carga de dos cargas puntuales cercanas de igual y opuesta magnitud en el límite a medida que se acercan más y más.

Imagine aproximarse a la función delta con una función de relieve suave y queda claro lo que está pasando.

Toma esto$\delta '(x)$y aplicar en una función arbitraria$f(x)$.

$$\int_{a}^{b} \delta'(x) f(x)\ \mathrm{d}x = f(x) \delta(x) |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \delta(x) f'(x)\ \mathrm{d}x = -f'(0)$$

Después$\delta '(x) \rightarrow -\delta (x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$.

El significado físico de un potencial que se parece a la función Delta es un potencial que actúa solo cerca del origen.$x = 0$, y en el resto del eje la partícula es libre . Vi tales barreras potenciales usadas en física nuclear.

Un potencial como la derivada de la función Delta,$\delta '(x)$es una aproximación de un potencial que a lo largo de todo el$x$El eje es cero , y solo cerca del origen muestra una barrera de potencial muy delgada, aunque infinitamente alta , seguida de un pozo de potencial muy profundo . Más que eso, su libro debería explicar por qué este formulario les resultó conveniente. Sobre el tratamiento de este potencial, la integración por partes, o transformada de Fourier, te ayudará a deshacerte de estas desagradables funciones. Se puede trabajar, por ejemplo, en la representación del momento lineal.

Para (la mayoría) de los propósitos físicos, puede pensar con seguridad en la función delta de Dirac$\delta(x-x_0)$como alguna función que no desaparece solo alrededor$x_0$, y con la propiedad de que su integral se normaliza a uno:

$$\tag{1} \int dx \,\delta(x) = 1.$$ Con esto quiero decir que puedes pensar en el delta como una función propia , que satisface (1) y que no se desvanece solo en un rango muy estrecho. $^\dagger$intervalo alrededor $x_0$.

Así que dada esta visión, ¿qué es$\delta'(x)$? Nada más que la derivada "habitual" de cualquier función$\delta(x)$es. Y este es el punto crucial: no sabemos qué$\delta$realmente se ve aparte de la localización y la propiedad integral, por lo que si bien no hay problema en definir su derivada, no sabemos cómo se ve .

Entonces, ¿cómo podemos usarlo? Bueno, resulta (como se muestra en la otra respuesta) que cuando$\delta'(x)$aparece en una integral con otra función podemos "traspasar" (integrando por partes) la derivada a la otra función, y seguir con el cálculo con seguridad.

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$^\dagger$lo que significa más pequeño que todas las demás cantidades físicas involucradas en el cálculo dado

$\delta'(x)$es una barrera invariante de escala , donde la matriz S y los cambios de fase no dependen del impulso.

Un artículo divulgativo reciente es Interacciones de puntos: condiciones de contorno o potenciales con la función delta de Dirac (De Vincenzo - Sánchez) Canadian Journal of Physics 10/2010; 88(11):809-815. DOI: 10.1139/P10-060 Otra referencia interesante puede ser http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406158 donde se argumenta que la parametrización tiene cierta libertad de calibre.

Pero si quieres una interpretación, entonces argumento que lo mires como un objeto invariable en escala. Ya el punto de ser apoyado en un solo punto implica alguna propiedad divertida bajo la escala, ya que debe mapearse hacia otra interacción que tenga apoyo en un punto, por lo que puede adivinar que todas las familias servirán para buenos puntos fijos y líneas de renormalización en el espacio . de potenciales con soporte compacto. Junto al$\delta'$Se puede argumentar que el potencial -solo- tiene dimensiones de longitud inversa al cuadrado, lo mismo que el término cinético, y por lo tanto cierta invariancia del hamiltoniano completo bajo escala$x \to \lambda x$se puede esperar.

De hecho, si aplica las fórmulas de la primera referencia a$V(x) = g_2 \ \delta'(x)$obtienes condiciones

$$u(0^+) =\mu \ u(0^-), \ \ \mu\, u'(0^+) = u'(0^-)$$

que permiten resolver por$S$-matriz, o si lo prefiere el coeficiente de Transmisión y Reflexión. Ahora, por ejemplo, para la onda izquierda tendremos en$0^-$la suma de incidente y reflejado:

$$u_k(0^-)= e^{ikx}+ e^{-ikx} R^l = (1 + R^l)$$ y su derivado $$u'_k(0^-)= ik (e^{ikx} - e^{-ikx} R^l) = ik (1 - R^l)$$ y de manera similar en $0^+$la onda transmitida $$u_k(0^+)= e^{ikt} T^l = T^l, \ u'_k(0^+)= ik e^{ikt} T^l = ik T^l$$

entonces ves la magia de esta condición límite particular: el$ik$factores pueden cancelarse y los coeficientes de transmisión y reflexión no dependen de$k$

$$\mu T^l = (1-R^l), T^l = \mu (1+R^l)$$

Una referencia moderna que relaciona las derivadas delta con la dispersión es http://iopscience.iop.org/0305-4470/36/27/311 "Sobre la existencia de resonancias en la probabilidad de transmisión de las interacciones que surgen de las derivadas de la función delta de Dirac"