Integral de tipo gaussiano con potencia negativa de variable en integrando

De esta forma, no lo obtendrás naturalmente en física porque el factor gaussiano$\exp(-t^2)$aparece en la distribución normal o en el oscilador armónico, etc. pero con la adición de$1/t$o$1/t^2$, se obtiene una modificación no normalizable y no integrable (divergente) de la Gaussiana original. Sin embargo, seguramente se podría diseñar una situación en la que la integral surgiría en una forma diferente.

la integral

$$\int_{-\infty}^\infty t^n \exp(-t^2)$$ estrictamente hablando se desvanece para $n$impar porque la integral es una función impar. Aún más exactamente, es divergente para $n\leq -1$y esa es la respuesta estricta a la pregunta del OP. El comportamiento del integrando cerca de $t=0$es simple $t^n$cuya integral indefinida es $t^{n+1}/(n+1)$que es singular para $t=0$y $n\leq -1$.

De manera menos estricta, podemos calcular el valor principal continuado analíticamente, para un negativo impar$n$, tenemos que sumar el valor absoluto a$t$, para obtener distinto de cero, y la integral se puede convertir mediante sustitución$t^2=T$es decir$t=\sqrt{T}$y$dt=dT/2\sqrt{T}$a

$$2\int_{-\infty}^\infty T^{n/2-1/2} \exp(-T) dT/2 = (n/2-1/2)!$$ Es la integral de Euler para la función gamma que escribí como un factorial generalizado. Los factores de $2$Cancelar. Para $n=-1$, el argumento del factorial es $-1$y el propio factorial es verdaderamente divergente: un polo. Tenga en cuenta que es exactamente el punto en el que el valor principal estricto se desvanecería debido a la naturaleza extraña del factorial. Para $n=-2$, el argumento del factorial es $-1.5$y el resultado es $$(-1.5)! = (-0.5)! / 0.5 = 2\sqrt{\pi}$$ La integral estricta sería divergente, incluso con el valor principal, pero los resultados anteriores, $\infty$y $2\sqrt\pi$, son probablemente los que obtendría un físico que "naturalmente" ajustaría la integral.

La integral aún puede existir en el sentido de continuación analítica. Por ejemplo, sabemos que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \; \exp(-ax^{2}) = \frac{ \sqrt \pi}{\sqrt a}$$

Ahora puedes integrar dentro de la expresión con respecto a 'a' n veces para obtener la integral

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \; \exp(-ax^{2})\frac{(-1)^{n}}{x^{2n} }= C \frac{d^{-n}}{dx^{-n}}a^{-1/2}$$