Función delta de Dirac definida en el libro de teoría cuántica de campos de Zee

1. Al considerar una función delta naciente $\delta_{\epsilon}:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$con un parámetro de regularización$^1$ $\epsilon>0$, no es necesario que (la medida Lebeque de) el apoyo ${\rm supp}(\delta_{\epsilon})$se desvanece por$\epsilon\to 0^+$. Hay muchos contraejemplos. Por ejemplo, el núcleo de calor o la representación del núcleo de Poisson de$\delta$.

2. La distribución delta de Dirac $\delta$satisface por definición que$^2$

   $$\delta[f]~=~f(0)$$ para funciones de prueba$f$.

3. La función delta naciente$\delta_{\epsilon}$satisface

   $$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x~\delta_{\epsilon}(x)f(x)~=~f(0).$$

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$^1$El parámetro de regularización de Zee se puede ver como$\epsilon=1/K$.

$^2$ $\delta[f]$a menudo se escribe con la notación$\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x~\delta(x)f(x)$.

tu preocupación es que

$$\lim_{K\to\infty}d_K(x)=\left\{ \begin{array}{rl} \infty & x=0\\ 0 & x\ne0 \end{array}\right.\implies\int_{\Bbb R}\lim_{K\to\infty}d_K(x)dx=0\ne\lim_{K\to\infty}\int_{\Bbb R}d_K(x)dx=1.$$ Esta espectáculos$\delta$no puede ser una función definida como un límite puntual de$d_K$. En efecto,$\delta$no es una función en absoluto, que es todo lo que puede obtener dicho límite puntual. En cambio$\delta$es una distribución con una medida, y se recupera como un límite distribucional a saber. $$\int_{\Bbb R}\delta(x)f(x)dx=\lim_{K\to\infty}\int_{\Bbb R}d_K(x)f(x)dx=f(0)$$ por lo suficientemente agradable$f$(En particular,$f$puede ser cualquier función de Schwartz ).

Esta derivación se basa en la integral de Fourier.

De hecho, puede saber que la transformada de Fourier del delta de Dirac es 1 y, por lo tanto, la transformada inversa de Fourier de 1 es el delta de Dirac.

De hecho, puedes ver fácilmente que

$$\begin{equation} \mathcal{F}[\delta(x)](k) = \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-ikx}\,\mathrm{d}x=e^0=1 \end{equation}$$ Si hacemos la transformada de Fourier inversa de lo anterior $$\begin{equation} \delta(x)=\mathcal{F}^{-1}[1](x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{ikx}\,\mathrm{d}k = \lim_{K\to\infty}\int_{-K/2}^{K/2}\frac{e^{ikx}}{2\pi}\,\mathrm{d}k \end{equation}$$ que es lo que querías probar.

Para decir lo mismo de una manera tonta: si no tenía idea de qué era una función delta, pero quería imitar

$$f_n = \sum_{n'} \delta_{n,n'} f_{n'}$$ y escribe$f(x)$como una suma (es decir, ahora una integral) de algo como esto que era cero en todas partes excepto en$x$donación$f(x)$, ¿cómo podría uno hacerlo?

Aunque parece inmediato qué hacer, podemos hacer explícita la generalización reescribiendo el delta anterior como una función de un solo argumento$n-n'$a través de

$$f_n = \sum_{n'} \delta_{n-n',0} f_{n'}$$ o incluso más explícitamente estableciendo$f_n = f(n)$y$\delta_{n-n',0} = \delta(n-n')$Llegar $$f(n) = \sum_{n'} \delta(n-n') f(n')$$ por lo que la generalización se convierte en $$f(x) = \int dx' \delta(x - x') f(x').$$ Para encontrar una expresión para$\delta$podemos recordar la forma integral de Fourier de$f$ $$f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int f(k) e^{i kx} dk = \frac{1}{2 \pi} \int [ \int dx' f(x') e^{-ikx'}] e^{ikx} dk = \int dx' [\frac{1}{2 \pi} \int dk e^{ik(x-x')}] f(x')$$ Así encontramos $$\delta(x - x') = \frac{1}{2 \pi} \int dk e^{ik(x-x')} = \lim_{K \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-K/2}^{K/2} dk e^{ik(x-x')}$$ Ahora puedes racionalizar esto para que funcione, por ejemplo$\delta$satisface la propiedad X, etc... por ejemplo$1 = \int dx' \delta(x - x')$sigue inmediatamente. Puede que tengas que renunciar a la idea misma de lo que es una función para que todo esto funcione, pero que así sea.

Una forma de ver directamente por qué esto es cierto es recordar:

$$\delta(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2 \pi} e ^ {ik.x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [the \ standard \ definition] \\ = \underset{K\to \infty}{lim} \int_{- \frac{K}{2}}^{\frac{K}{2}} \frac{dk}{2\pi} e^{ik.x} =\underset{K\to \infty}{lim} (\frac{1}{\pi x} sin(\frac{Kx}{2}))$$