Estaba pensando en cómo se representan los estados cuánticos para varios tipos de sistemas y cómo la cantidad de información clásica (bits) requerida para representar un estado depende de su base.
Tomemos el hidrógeno por ejemplo. Puede representarlo en la base de posición usando funciones delta de dirac. Esta es probablemente la forma menos eficiente de almacenarlo (para trabajo numérico). O puede usar las mismas funciones analíticas exactas: el hidrógeno es un producto de los armónicos esféricos y una función exponencial radial decreciente. Almacenar estas ecuaciones simbólicas es probablemente el método más eficiente.
Para moléculas pequeñas, DFT representa típicamente la función de onda como una combinación de orbitales de tipo gaussiano o Slater, y requiere una cierta cantidad de estos orbitales para lograr la precisión numérica deseada (creo que son estrictamente necesarios menos orbitales de tipo Slater, pero los orbitales de tipo gaussiano son utilizados en la práctica ya que son computacionalmente más eficientes).
Diablos, incluso podría almacenar una función de onda arbitraria como una lista de coeficientes en su expansión de Taylor.
Mi punto es: existe cierta relación entre la cantidad de bits necesarios para representar un vector de estado y la precisión de los cálculos realizados en él (valores propios de energía, por ejemplo), y este número parece variar mucho.
Entonces, naturalmente, me pregunté, ¿cuál es la representación óptima ? ¿Cómo puedo almacenar este vector de estado con la menor cantidad de bits posible? ¿Hay un algoritmo para determinar esto?
Por extraño que parezca, ¡no puedo encontrar ninguna literatura sobre el tema! Parece que esta sería una pregunta muy importante para el trabajo numérico práctico, pero no surge nada (parece que todos se contentan con usar ondas planas y gaussianas para todo). Tal vez solo estoy usando los términos de búsqueda incorrectos. ¿Alguien sabe si se ha trabajado en esto? ¿Se requiere un número mínimo absoluto teórico de bits para representar un estado en particular?
Si bien no estoy versado en las funciones de onda de las partículas, puedo agregar quizás un poco de intuición en cuanto al enfoque que está tomando para este proceso. Lo que está pidiendo se parece mucho a una pregunta común en la teoría de números y la informática: ¿cuál es la complejidad de Kolmogorov de una determinada pieza de datos? En otras palabras, ¿cuál es la forma más eficiente de describir un conjunto de datos, marcando la eficiencia como la relativa pequeñez de la descripción? Desafortunadamente, hay algunas paradojas aquí a menos que tenga una definición muy concreta de "definición". Un buen ejemplo sería la Paradoja de Berry .
Primero, permítame responder rápidamente lo que creo que será un malentendido de su pregunta: un estado cuántico puro no tiene entropía de Shannon, en el sentido de que puede tratarse como un punto conocido en el espectro de un observable: puede pensar en este espectro como un alfabeto de símbolos y conocer el estado cuántico puro equivale a saber qué símbolo tenemos. Una mezcla clásica de estados cuánticos, como en una distribución aleatoria clásica de diferentes estados cuánticos puros o una mezcla que surge en el experimento mental de Wigner's Friend, tiene la entropía de Shannon dada por la entropía de von Neumann (consulte la página Wiki de este nombre) .
Pero lo que creo que está buscando es, como dice la respuesta de Speleo , un contenido de información proporcionado por la descripción más breve posible de un estado cuántico en un idioma de destino. Esto, como dice Speleo, es la complejidad de Kolmogorov, y siempre se define en relación con un idioma en particular . Para la última parte de mi respuesta, el siguiente resultado es importante:
Teorema: Dado cualquier lenguaje , no hay un algoritmo finito definible en ese lenguaje que pueda calcular la complejidad de Kolmogorov de una cadena general en un alfabeto especificado
La prueba más fácil y común se encuentra en mi sitio web aquí . Es la única prueba de incomputabilidad que conozco que no recurre al argumento de Cantor Slash.
Ahora bien, el único trabajo que he visto que es vagamente relevante para su pregunta es la muy interesante especulación hecha por Charles Bennett en
Más adelante en este artículo, hace la interesante observación de que, debido a que la complejidad de Kolmogorov no es computable, no existe un algoritmo para calcular la descripción más corta de un arreglo químico (que se puede dar en algún lenguaje que codifique las relaciones espaciales relativas entre los constituyentes de una molécula). , Por ejemplo). Bennett y otros creen que la segunda ley de la termodinámica, al menos en parte, surge a través de la reversibilidad fundamental (NOTA: ¡NO dije IRReversibilidad!) de la física a nivel microscópico, lo que obliga a un motor Szilard a codificar toda su historia en el microestado. del medio ambiente (y codificar así la historia anterior de la reserva de calor en el medio ambiente). Por lo tanto, uno debe hacer el trabajo de "tirar" el exceso de entropía del hardware inmediato de la computadora Maxwell Daemon dentro de un motor Szilard, para que lo "reinicialicemos" listo para codificar más historia. Discuto más esta ideaen mi respuesta aquí .
Entonces, si esta idea, esencialmente una reafirmación del principio de Landauer, subyace a la segunda ley, entonces necesitamos saber cómo codifica la naturaleza sus estados para decir cuánta información puede "absorber" un sistema a una temperatura determinada. Por tanto, la complejidad de Kolmogorov parecería importante para el cálculo teórico de las entropías de las sustancias.
Por lo tanto, Bennett conjetura que la incomputabilidad de la Complejidad de Kolmogorov es la razón por la cual los cálculos teóricos de entropías de sustancias en química física son notoriamente poco confiables.
Una idea completamente fascinante que creo que definitivamente tiene mérito, pero claramente necesita más trabajo en ella, particularmente para hacerla matemáticamente y teóricamente rigurosa.
Selene Routley
Selene Routley