Infinitas soluciones potenciales para pozos cuadrados

Mi pregunta es sobre la comprensión de las diferentes soluciones del pozo cuadrado potencial.

Imagina un cuadrado bien definido de esta manera:

$$V(x) = \begin{cases} ∞&\,{\rm if} x<0 \\ 0&\,{\rm if}\,x\in\left(0,L\right) \\ ∞&\,{\rm if} x>L. \end{cases}$$

Al aplicar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo obtenemos:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2\psi}{∂x^2} =E\psi,$$ y luego:

$$\frac{∂^2\psi}{∂x^2} =-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi.$$

si definimos$k_1^2=-\frac{2mE}{\hbar^2}$obtenemos la solución

$$\psi_1=Ae^{k_1x}+Be^{-k_1x}.$$

Pero si definimos$k_2^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$obtenemos la solución

$$\psi_2=Ae^{ik_2x}+Be^{-ik_2x}.$$

A mi modo de ver, una solución describe la función de onda usando funciones exponenciales de valor real, mientras que la otra la describe usando exponenciales de valor complejo (o senos y cosenos, usando la fórmula de Euler).

Con esta "diferencia matemática", ¿alguien puede ayudarme a entender si hay alguna "diferencia física" entre ambas soluciones? ¿Describen diferentes funciones de onda? ¿Hay algo simple que me estoy perdiendo?

PD: Esta pregunta no es tarea. Se trata de mí tratando de entender bien las soluciones del cuadrado del potencial infinito.