Incertidumbre mínima

El principio de incertidumbre generalizada que relaciona dos operadores$A$y$B$es

$$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq {\left( \frac{1}{2i} \langle\left[ A,B\right] \rangle\right)} ^2$$ dónde $[A,B]=AB-BA$es el conmutador de los operadores. Esta relación se derivó usando dos desigualdades. La primera es la desigualdad de Schwarz que, en notación de corchetes es $$\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle \geq |\langle {f|g}\rangle |^2$$ La segunda desigualdad es condición de un número complejo. $z=x+iy$: $$|z|^2 \geq y^2$$
Es interesante ver qué sucede si requerimos que estas dos relaciones sean igualdades en lugar de desigualdades. Esto nos dará una condición sobre las funciones f y g que da la mínima incertidumbre entre ellas. En el caso de la desigualdad de Schwarz, queremos $\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle =|\langle{f|g}\rangle |^2$.

Para ver lo que esto implica, podemos examinar la demostración de la desigualdad de Schwarz. Con este fin, introduciremos la función,

$$|h\rangle =|g\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$$ desde, $\langle{h|h}\rangle \geq 0$,
tomando el producto consigo mismo, $$\langle{h|h}\rangle =\langle{g|g}\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{g|f}\rangle -\frac{\langle{g|f}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{f|g}\rangle +\left( \frac{|\langle{f|g}\rangle |}{\langle{f|f}\rangle}\right)^2\langle{f|f}\rangle\\ =\langle{g|g}\rangle -\frac{|\langle{f|g}\rangle |^2}{\langle{f|f}\rangle}\\ \geq 0\\ \implies \langle{f|f}\rangle \langle{g|g}\rangle \geq |\langle{f|g}\rangle |^2$$
Para que esta desigualdad sea reemplazada por una igualdad, necesitaríamos $|h\rangle =0$. Así, a partir de la definición, tenemos $|g\rangle=\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$Es decir, la desigualdad de Schwarz se convierte en una igualdad si una función es múltiplo escalar de la otra: $|g\rangle=c|f\rangle$donde c es, en general, un escalar complejo. La segunda desigualdad es una igualdad si x=0 por lo que z es puramente imaginario. En nuestra derivación original del principio de incertidumbre, usamos $z=\langle{f|g}\rangle$, por lo que si requerimos igualdad, obtenemos $Re(z)=0$

[editar]:

Aquí$z=\langle{f|g}\rangle$es imaginario, porque para una incertidumbre mínima necesitamos que el número complejo sea puramente imaginario, como dije anteriormente. Y también$|g\rangle =c|f\rangle$. De este modo,$z=c\langle{f|f}\rangle$. Desde$\langle{f|f}\rangle$siempre es real, c debe ser un número complejo.

Creo que descubrí la respuesta a mi propia pregunta.

$|f\rangle$y$|g\rangle$se definen en el espacio de Hilbert, que es un espacio de producto interior, y una de las propiedades de este espacio es

$$\langle f|f \rangle \geq 0$$

Entonces$\langle f|f \rangle$debería ser real,

En la derivación del principio de incertidumbre tomamos

$$(\text {Re}(z))^2+(\text {Im}(z))^2 \geq (\text {Im}(z))^2$$

dónde$z=\langle f|g\rangle$

La desigualdad anterior puede ser una igualdad cuando$\text {Re}(z)=0$, es decir$\text {Re}(\langle f|g\rangle)=0$

entonces tomamos$|f\rangle=c|g\rangle$(debido a la desigualdad de Schwarz), lo que da$\text {Re}(c\langle f|f\rangle)=0$, desde$\langle f|f \rangle$es real (como se indicó anteriormente),$c$debe ser complejo