¿Fracasa el principio de incertidumbre de Heisenberg en el caso de un rotor rígido bidimensional?

Para una partícula de masa m, confinada al plano xy y experimentando un movimiento circular con distancia fija al origen, r y ángulo polar,$\theta$mantenido constante en$90^{\circ}$, la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas se simplifica a

$$\frac{-\hbar^2}{2I}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \varphi^2} = E \Psi$$

Las soluciones normalizadas de esta ecuación son

$$\Psi_{m} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$$

dónde$m$es un número entero.

Los valores propios devueltos por el$\hat{L_{z}}$y$\hat{L^2}$los operadores son

$$\hat{L_{z}}\Psi_{m} = -i\hbar\frac{\partial \Psi_{m}}{\partial \varphi} = m\hbar\Psi _{m}$$

$$\hat{L^2}\Psi_{m} = (\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}_{z}^{2})\Psi_{m} = m^2\hbar^2\Psi _{m}$$

La última ecuación sugiere que la magnitud del momento angular es$m\hbar$, que, a su vez, es igual a la magnitud de la componente en la dirección z,$m\hbar$. Sin embargo, ambos valores sólo pueden ser iguales si los componentes en el$x$y$y$dirección son ambas iguales a cero, en cuyo caso las tres componentes del momento angular de la partícula están completamente definidas. Pero esto parece violar el principio de incertidumbre del momento angular, que establece que dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo$\hat{L_{x}}$y$\hat{L_{y}}$) no puede ser conocido y medido simultáneamente con precisión arbitraria. Me gustaría saber si hay algo mal con mi razonamiento aquí, y si este ejemplo está incluso correctamente establecido.