Importancia de la semejanza de la energía eléctrica con la energía potencial del resorte

Puede esperar esta forma universalmente para cualquier pequeña perturbación en un equilibrio estable. La razón es que cualquier mínimo de energía suave, independientemente de su forma, parece una parábola de cerca. Esto se puede demostrar a partir de una expansión en serie de Taylor de la energía$U$alrededor del punto de equilibrio:

donde la notación prima indica derivadas, donde$U(0)$se toma como cero (un punto de referencia arbitrario), donde$U^\prime(0)=0$porque estamos describiendo perturbaciones alrededor de un mínimo, y donde he descartado todos los términos subsiguientes como insignificantes. Aquí,$U^{\prime\prime}(0)$representa un solo número: la curvatura del pozo de energía en su mínimo. De este modo,

A su vez, esto nos permite definir todo tipo de leyes útiles que implican fuerzas restauradoras generalizadas que se basan linealmente, hasta cierto punto, en desplazamientos generalizados.

Un ejemplo es$F=kx$para resortes, una versión personalizada de la Ley de Hooke $\sigma=E\varepsilon$donde la fuerza generalizada es la fuerza real$F$y el desplazamiento generalizado es el desplazamiento real$x$. La energía de deformación es$dU=F\,dx$, que se integra para obtener$U=\frac{1}{2}kx^2$.

(Equivalentemente, dado que las energías son derivadas de las fuerzas, uno podría haber trabajado hacia atrás desde$U\propto\frac{1}{2}x^2$como se justifica arriba para obtener$F=E^\prime\propto x$, la ley del resorte.)

Otro ejemplo es$V=IZ$, Ley de Ohm compleja, donde la fuerza generalizada es el voltaje y el desplazamiento generalizado es la corriente (tasa de flujo de carga$Q$). la impedancia$Z$en un circuito LC está relacionado con$L$y$C$, y finalmente encontramos que la energía total es$U=\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI^2$, que se puede transformar en su expresión usando las relaciones entre el voltaje dependiente del tiempo y la corriente en la frecuencia de oscilación resonante$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

En mi opinión, es porque la forma en que definimos$k$es decir, la constante del resorte (o equivalente) o la fuerza requerida para desplazar una unidad de longitud.
La fuerza requerida es$F=kx$, dónde$x$es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. Ahora, la energía gastada o el trabajo realizado es$\text{d}W = F\text{d}x$. Entonces el trabajo total realizado es$W=\int F\text{d}x = \int_0^x kx\text{d}x$. Por lo tanto,$W=kx^2/2$. Esa Energía = Fuerza * desplazamiento (desde el equilibrio) es universal y, por lo tanto, encontramos una fórmula equivalente para otras formas de energía.