Impedancia eléctrica: ¿por qué funciona?

Toda ecuación compleja es un conjunto de dos ecuaciones reales: una con partes reales y otra con partes imaginarias:

$A = B \iff \begin{cases} \operatorname{Re}(A) = \operatorname{Re}(B)\\ \operatorname{Im}(A) = \operatorname{Im}(B)\\ \end{cases}$

Siempre que sumamos ecuaciones complejas y/o multiplicamos ambos lados por un número real, las partes real e imaginaria pueden tratarse estrictamente por separado; no se mezclan.

La corriente real puede definirse como una parte real de alguna "corriente compleja"$I$y todos esos cálculos serán válidos independientemente de cuál sea la parte imaginaria. Esta es la respuesta aburrida a "¿cómo funciona?" pregunta. Más interesante es: ¿por qué hacemos eso? Por ahora, la parte imaginaria parece ser una carga innecesaria.

El truco es que consideramos la corriente en una forma$I= I_0 e^{i \omega t + \varphi}$.

Con esa representación tenemos:

$\frac{d}{dt} I = i \omega I$

$I = \frac{d}{dt} \frac {-i} \omega I$

Significa que podemos (para fijo$\omega$) reemplazan la derivada con una simple multiplicación por un factor, y la integral (es decir, la carga eléctrica) con una multiplicación por otro factor.

por supuesto multiplicando por$i$mezcla partes reales e imaginarias, pero ese es el punto. La parte imaginaria ya no es una carga; es derivada e integral (con sus respectivos factores) en uno .

La fórmula para$Y$en su ejemplo usa eso con complejo$V$. La relación entre (real)$I$y (real)$V$en el circuito RLC da una ecuación diferencial de segundo orden. Con números complejos y fijos$\omega$podemos obtener una ecuación no diferencial:

$I = YV$

La parte imaginaria de$Y$es un sustituto inteligente para la diferenciación y la integración.