¿Cuál es la explicación microscópica de por qué hay más potencia en un circuito con una resistencia menor?

Según el modelo de Drude de flujo de electrones en un circuito, la velocidad de deriva es inversamente proporcional a la resistividad.

mi = ρ j
mi = ρ norte mi v d
mi = − ρ norte mi 2 mi metro τ
ρ = metro norte mi 2 τ

Como podemos ver, un material con una resistividad más alta tiene un tiempo de relajación menor y, por lo tanto, una velocidad de deriva menor, como τ − mi mi metro = v d .

Mi pregunta es, ¿por qué se disipa más potencia en un circuito con una resistencia menor? Una resistencia más pequeña significa que hay un mayor tiempo de relajación. Un mayor tiempo de relajación significa que los electrones chocan con menos frecuencia con la estructura reticular. ¿No debería esto significar menos energía transferida por unidad de tiempo ya que la frecuencia de las colisiones debe ser de alguna manera proporcional a la tasa de transferencia de energía?

Siento que estoy cerca de encontrar una respuesta, pero no puedo explicarla completamente: en una resistencia (en comparación con un cable), la resistividad es alta y el tiempo de relajación es bajo, al igual que la velocidad de deriva. Ahora bien, debido a que el tiempo de relajación es bajo, la frecuencia de las colisiones debe ser alta. Entonces ocurren muchas colisiones, pero ocurren cuando los electrones realmente no tenían mucho tiempo para acelerar. Mientras que en un cable, los electrones se mueven mucho más rápido y, aunque no chocan con frecuencia, se transfiere mucha energía a los iones de la red, ya que los electrones tienen mucha velocidad y la energía cinética varía con el cuadrado de la velocidad. En otras palabras, el efecto de la velocidad supera la disminución de la frecuencia del efecto de las colisiones. ¿Cómo podemos mostrar eso matemáticamente, si esa es la línea correcta de razonamiento?

Otra posible explicación es que el tiempo de relajación en el alambre de cobre (en relación con una resistencia) en realidad disminuye pero N, la densidad del portador de carga aumenta en un factor mayor y, por lo tanto, la resistividad total disminuye aunque el tiempo de relajación disminuya. Como el tiempo de relajación disminuyó podemos usar esto para razonar por qué la potencia es mayor (colisiones más frecuentes).

La velocidad de deriva en un alambre es baja porque el campo eléctrico es pequeño allí. También hay muchos portadores de carga.
@Pieter La velocidad de deriva en un cable debe ser mayor, como se explica en las ecuaciones anteriores. Menor resistividad significa mayor tiempo de relajación significa mayor velocidad de deriva
Lo que sea. Si estás convencido de que tienes razón, genial. Pero ¿por qué hacer preguntas?
Porque parece contrario a la intuición que hay una mayor potencia en un cable más corto a pesar de que se producen menos colisiones. Y siempre que tengamos observaciones contrarias a la intuición, a menudo es mejor abordarlas matemáticamente para que se vuelvan intuitivas.

Respuestas (2)

Primero, tienes que mirar tus suposiciones iniciales. En general, no es cierto que haya más potencia en un circuito con una resistencia menor. Por lo tanto, debemos examinar las circunstancias en las que es cierto y en las que no lo es para ver si podemos descubrir alguna pista.

No es cierto que haya más potencia en un circuito con una resistencia menor cuando los dos circuitos son alimentados por fuentes de corriente idénticas. En tal caso, el circuito con menor resistencia tiene menor potencia. La corriente es la misma en ambos casos, pero el voltaje es más bajo en el circuito de baja resistencia y, por lo tanto, macroscópicamente PAG = I V conduce a una menor potencia.

Es cierto que hay más potencia en un circuito con menor resistencia cuando los dos circuitos están alimentados por fuentes de tensión idénticas. En tal caso, el circuito con la resistencia más pequeña tiene una potencia más alta. El voltaje es el mismo en ambos casos, pero la corriente es mayor en el circuito de baja resistencia y, por lo tanto, macroscópicamente PAG = I V conduce a un poder superior.

Entonces, la pista que obtenemos es que debemos enfocarnos en la corriente. La condición que descubrimos es que solo es cierto que el circuito de baja resistencia proporciona potencia adicional al comparar dos circuitos con el mismo voltaje fijo y diferente corriente. Entonces, su pregunta es cómo una resistividad reducida conduce microscópicamente a un aumento de corriente para un circuito alimentado por una fuente de voltaje.

Dado que en su pregunta se centró en el tiempo de relajación, hipotéticamente arreglemos todo lo demás y varíemos solo el tiempo de relajación. Una resistividad más baja corresponde a un tiempo de relajación mayor. Como el circuito está usando una fuente de voltaje, el mi se fija en τ − mi mi metro = v d y por lo tanto, aumentar el tiempo de relajación conduce a una mayor velocidad de deriva. Dado que mantenemos todo lo demás constante en I = j A = A norte mi v d la mayor velocidad de deriva conduce directamente a una mayor corriente y, por lo tanto, a una mayor potencia.

Tenga en cuenta que esta explicación microscópica no es una explicación general. Solo se aplica a situaciones en las que la única diferencia es el tiempo de relajación, que nunca es el caso en la práctica. La resistencia también podría cambiarse aumentando el área de la sección transversal del cable o la densidad del portador de carga. Cualquiera o todos ellos conduciría a un aumento I y por lo tanto mayor potencia. En este caso, la explicación microscópica tiende a ofuscar más que a aclarar. Simplemente no hay una explicación microscópica que sea correcta en todos los casos. La explicación macroscópica es generalmente correcta y por lo tanto preferible. Cualquier característica microscópica que conduzca a una mayor corriente produce el mismo resultado. Esta es una crítica común que tengo del modelo Drude. Complica y ofusca más de lo que aclara. En mi opinión, este tema se aborda mejor a nivel puramente macroscópico.

Te preguntas: ¿por qué se disipa más potencia en un circuito con menor resistencia?

Mi pregunta: ¿por qué te preguntas?

Para simplificar, solo mire un circuito cableado simple de una fuente de alimentación y una resistencia de carga. Usando la ley de Ohm, puedes derivar P = V ^ 2 / R, o P = I ^ 2 * R. Entonces, depende de las propiedades de la fuente de energía, si es una fuente de voltaje constante, la energía aumenta con una menor resistencia, pero si es una fuente de corriente constante, la potencia disminuiría.

Más en detalle, cuando se modela la fuente de alimentación como una fuente de voltaje con una resistencia interna adicional Ri, la potencia de salida es máxima cuando la resistencia de carga coincide con Ri. La potencia de salida disminuye con valores más pequeños y más grandes para la resistencia de carga.

¿Cuál es la explicación microscópica de por qué hay más potencia en un circuito con una resistencia menor?
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