¿Por qué usamos el RMS pero no el quad medio de la raíz cuarta?

¿Cuál es la relación entre esto y tener la misma energía térmica tanto en CA como en CC?

Primero, el contexto aquí es el voltaje y la corriente a través de una resistencia. La potencia entregada a un elemento del circuito es el producto del voltaje a través y la corriente a través. Entonces, para una resistencia (solo), la potencia instantánea es

$$p_R(t) = v_R(t) \cdot I_R(t) = \frac{V^2_R(t)}{R} = I^2_R(t)\cdot R$$

Entonces ya puede ver por qué estamos interesados ​​en el cuadrado de un voltaje a través (o corriente a través) y no en el cubo o potencias superiores.

Para un voltaje periódico a través de un período$T$, podemos preguntar cuál es la potencia promedio (media) durante el período y encontrar

$$\langle p_R(t)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T\mathrm{d}t\,\frac{v^2_R(t)}{R}$$

Tenga en cuenta que la potencia promedio (durante un período) es proporcional a la media del cuadrado del voltaje a través.

Ahora podemos preguntar qué voltaje constante a través de$V_R$daría la misma potencia que la potencia promedio del voltaje periódico variable en el tiempo.

La respuesta es, por inspección, la raíz de la media del cuadrado del voltaje periódico variable en el tiempo:

$$V_R = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T\mathrm{d}t\,v^2_R(t)} = V_{rms}$$

Este ejemplo en particular tiene una razón principal. La potencia y, por lo tanto, la energía de una señal es proporcional al cuadrado de la amplitud (siempre que otras variables, como la resistencia de carga, sean constantes). Entonces, si toma el RMS, acaba de sumar la energía total, promediarla a lo largo del tiempo y obtendrá la potencia promedio

RMS también elimina el signo negativo, lo cual es una buena ventaja. Pero también puede usar funciones de valor absoluto para esto. También es fácil de integrar, diferenciar y muchas otras cosas (en comparación con los valores absolutos).

Sin relación con el ejemplo actual, las funciones exponenciales tienen la propiedad de exagerar las diferencias entre los 'altos' y los 'bajos'. Este es uno de los factores que afectan su decisión al elegir uno (como con una función de error como MSE), ¿cuánto desea enfatizar valores más grandes?

La raíz cuadrática media se puede derivar de algo más general.

Primero veamos el espacio de funciones reales T-periódicas. Su producto interior es

$$\langle x,y\rangle = \int_0^T x(t)y(t) \mathrm{d}t.$$

Inducido a partir de este producto interior, podemos definir una norma sobre este espacio:

$$\lvert\lvert x \rvert\rvert_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{\int_0^T x(t)^2 \mathrm{d}t}.$$

Ya vemos algunas similitudes entre la definición de la norma y la definición del RMS.

Ahora bien, si nuestra función$x$tiene la unidad$\lbrack V \rbrack$, el producto interior tendrá la unidad$\lbrack V^2s \rbrack$y la norma$\lbrack Vs^\frac12 \rbrack$. Como queremos que el RMS exprese una cantidad por división de tiempo, tenemos que dividir el producto interno por el período$T$para no solo hacer coincidir la unidad deseada$\lbrack V \rbrack$de nuevo, sino también para relacionarlo con un momento en el tiempo y no con un intervalo de tiempo (el período, por ejemplo).

Así que nuestro RMS es realmente solo$\frac{\lvert\lvert x \rvert\rvert_2}{\sqrt{T}}$.

Para leer más acerca de por qué la norma 2 se usa en muchos lugares, lo invito a echar un vistazo a 1 y 2 .

Energía promedio$\left <\rm power \right > = \dfrac{\left <\rm \rm voltage^2 \right >}{R} = \left <\rm \rm current^2 \right > R$entonces es la media de los valores al cuadrado lo que necesita usar.

En el ejemplo anterior, verá que las áreas$A$y$B$por encima y por debajo de la$\left <\rm \rm i^2 \right > = \left <\rm \rm current^2 \right >$línea son iguales por lo que la energía extra entregada durante el período de tiempo de$A$se compensa exactamente por la cantidad reducida de energía entregada durante el período de tiempo de$B$. (Piense en ello como nivelar un terreno que originalmente tenía muchos baches).
Por lo tanto, una corriente constante de magnitud$\rm i_{dc} = i_{\rm rms} = \sqrt{\left <\rm \rm current^2 \right >}$disipará, durante un ciclo, la misma cantidad de energía eléctrica que la corriente alterna durante un ciclo.

Si quisieras la media de la potencia al cuadrado entonces elevarías las cantidades a la potencia de cuatro pero ten en cuenta que en general$\left <\rm power^2 \right >\ne \left <\rm power \right >^2$.