Identificación de irreps de SU(2)SU(2)SU(2)

El lema de Schur afirma que una representación es irreductible si su conmutador es trivial, es decir, solo contiene múltiplos de la identidad.

Dejar$G$ser tu grupo y dejar$\pi$ser cualquier representación de$G$sobre el espacio vectorial de representación$V$(generalmente un espacio de Hilbert). Entonces$\pi$es un homomorfismo de grupo entre$G$y$\text{GL}_n(\mathbb C)$. El conmutador de la representación es el conjunto

$$\pi(G)' = \{S\in\text{GL}_n(\mathbb C)\ |\ ST = TS\quad\forall T\in \pi(G)\}$$ es decir, todos los elementos en$\text{GL}_n(\mathbb C)$que conmutan con cada elemento en la imagen de la representación. Si$\pi$es irreducible, por el lema de Schur antes mencionado, este conmutador se reduce a $$\pi(G)' = \{\lambda\cdot 1_{\text{GL}_n(\mathbb C)}\ |\ \lambda\in\mathbb C\}$$ lo que significa que los únicos elementos que conmutan con la imagen de la representación son solo múltiplos de la matriz identidad.

El centro de la representación.$\pi$es la intersección$\pi(G)\cap\pi'(G)$, que contiene todos los elementos de la representación$\pi$que viajan con$\pi$sí mismo. Según el lema de Schur, estos operadores son escalares , es decir, simplemente números. Un ejemplo de tal elemento es el operador Casimir, que en el caso del grupo$SU(2)$define el momento angular total, y toma la forma

$$J^2 = j(j+1)\cdot 1_{\text{GL}_n(\mathbb C)}.$$ Dado que no hay forma de vincular dos representaciones irreducibles que tienen una representación diferente del operador Casimir (es decir, un valor diferente de$j$) por un entrelazador, cada valor de$j$le da una representación irreducible diferente (es decir, unitariamente no equivalente).

Para la segunda pregunta, el argumento anterior muestra que una prueba de la irreductibilidad de una representación es simplemente comprobar que su conmutador es trivial.

Un método alternativo al lema de Schur es utilizar las relaciones de ortogonalidad de los caracteres. Dejar$\chi_R(g)$sea ​​la traza de la matriz de$g$en la representación$R$. Si tienes un grupo finito$G$, con$|G|=n$, hay un producto interno entre las representaciones

$$\langle \chi_R,\chi_{R'} \rangle = \frac{1}{n}\sum_{g\in G} \chi_R(g)\chi_{R'}(g)^*$$ Ahora, cuando $R$y $R'$son irreducibles, esto da unidad si $R=R'$y cero en caso contrario. Esto implica que si $R$es reducible, $\langle \chi_R,\chi_{R} \rangle$dará un número mayor que 1: la suma de los cuadrados del número de veces que aparece cada representante irreducible en $R$.

Por supuesto,$SU(2)$no es finito, así que esto no es bueno. Pero funciona con una simple modificación: reemplazar la suma$\frac{1}{n}\sum_{g\in G}$con una integral sobre el grupo, utilizando la medida invariante de Haar, normalizada para que el volumen del grupo sea la unidad:

$$\langle \chi_R,\chi_{R'} \rangle =\int_{G} \chi_R(g)\chi_{R'}(g)^* dg$$ Esto funciona para grupos de Lie compactos. $G$. La medida de Haar para $SU(2)$es la medida habitual en $S^3$, parametrizados como ángulos de Euler, digamos, y divididos por el volumen de la esfera a normalizar.

Por lo tanto, debe calcular la medida en el grupo, encontrar las trazas de la representación y calcular la integral$\int_{G} |\chi_R(g)|^2 dg$. Si obtienes uno, entonces$R$es irreductible; de lo contrario, obtendrá un número entero mayor que uno.

Daré un poco más de detalles sobre la respuesta de @ Holographer, que es completamente correcta, ya que yo mismo luché con esto recientemente. Algunos lectores pueden encontrar esta prueba interesante, ya que no se puede encontrar muy explícitamente en los libros de texto de matemáticas para graduados, solo se puede encontrar el esquema de la prueba.

Teorema: Para funciones de clase continua$f$en$SU(2)$, tenemos:

$$\begin{equation} \int_{SU(2)} fdg=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\limits f(A(\theta)) sin^2(\theta) d \theta. \end{equation}$$ Prueba: sabemos que la medida de Haar existe en$SU(2)$. Teniendo eso, queremos proyectarlo al espacio de las clases de conjugación.$[0,\pi]$: nuestro objetivo es expresar integrales de funciones de clase sobre el grupo como integrales sobre$[0,\pi]$. Para ello, queremos determinar una densidad$\rho$en$[0,\pi]$tal que: $$\begin{equation*} \int_{SU(2)} fdg= \int_{0}^{\pi}\limits f(A(\theta)) \rho(\theta) d \theta \end{equation*}$$ para funciones de clase continua$f$en$SU(2)$. El valor de$\rho(\theta)$puede interpretarse geométricamente como el área de la clase de conjugación de$A(\theta)$en$SU(2)$.

Dado que las funciones de clase continuas pueden aproximarse uniformemente mediante combinaciones lineales de caracteres de las representaciones irreducibles, según el teorema de Fejér, basta con comprobar que$\rho$satisface la fórmula para todos los caracteres$\chi_{n}(A(\theta))$. Para estos, el lado izquierdo se da:

$$\begin{equation*} \int_{SU(2)} \chi_{n} dg=\langle \chi_n, \chi_0 \rangle_{L^2}=\begin{cases} 1 & \text{if } n=0, \\ 0 & \text{if } n>0. \end{cases} \end{equation*}$$ Así, desde$\chi_{0}(A(\theta))=1$, tenemos: $$\begin{equation*} 1= \int_{0}^{\pi} \limits 1 \rho(\theta) d\theta. \end{equation*}$$ De manera similar, usando nuestra fórmula explícita para los caracteres: $$\begin{equation*} 0= \int_{0}^{\pi} \limits\sum_{k=0}^{n}e^{i\theta(n-2k)} \rho(\theta) d \theta \iff \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(n-2k)} \rho(\theta) d\theta=0. \end{equation*}$$ Veamos esta condición con más detalle. Para$n=1$tenemos: $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{1} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(1-2k)} \rho(\theta) d \theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \rho(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Para$n=2$, tenemos: $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{2} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(2-2k)} \rho(\theta) d\theta=0\iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{2i \theta}+1+e^{-2i \theta})\rho(\theta) d \theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits( e^{2i\theta}+e^{-2i\theta})\rho(\theta) d \theta=-1. \end{equation*}$$ Del mismo modo, para$n=3$: $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{3} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(3-2k)} \rho(\theta) d\theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{3i\theta}+e^{i\theta}+e^{-i\theta}+e^{-3i\theta})\rho(\theta) d\theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{3i\theta}+e^{-3i \theta}) \rho(\theta) d\theta=0. \end{equation*}$$ Más generalmente, para$n \geq 3$: $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(n-2k)} \rho(\theta) d \theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{i\theta n}+ e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta + \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i \theta(n-2k)} \rho(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Manipulando el segundo término: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits (e^{i\theta n}+ e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta + \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i \theta(n-2k)} \rho(\theta) d \theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits (e^{i\theta n}+ e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta + \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i \theta((n-2)-2(k-1))} \rho(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Alquiler$j=k-1$y reetiquetando la segunda suma: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits (e^{i\theta n}+ e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta + \underbrace{\sum_{j=0}^{n-2} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i \theta((n-2)-2j)} \rho(\theta) d \theta}_{=\langle \chi_{n-2},\chi_{0} \rangle=0 \; \; \forall n \geq 3}=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits ( e^{i \theta n}+e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Así, obtuvimos: $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{\pi} \limits e^{i\theta(n-2k)} \rho(\theta) d \theta=0 \iff \int_{0}^{\pi} \limits ( e^{i \theta n}+e^{-i\theta n}) \rho(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Los datos anteriores se pueden resumir en: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits \rho(\theta) d \theta=1, \; \; \int_{0}^{\pi} ( e^{in \theta}+e^{-in \theta})\rho(\theta) d \theta= \begin{cases} -1 & \text{if } n=2, \\ 0 & \text{if } n=1 \; \; \text{or}\; \; n \geq 3. \end{cases} \end{equation*}$$ Uno puede ver fácilmente que si$\rho(\theta)=a+b\left(e^{2i\theta}+e^{-2i \theta} \right)$, entonces las condiciones para$n=1$y$n\geq 3$quedan inmediatamente satisfechos. Sin embargo, vamos a mostrar esto explícitamente. Para$n=1$, tenemos: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits \left(a+b\left(e^{2i\theta}+e^{-2i \theta} \right) \right)\left(e^{i\theta}+e^{-i \theta} \right) d \theta=2a \int_{0}^{\pi} \limits \cos (\theta) d \theta + 4b \int_{0}^{\pi} \limits \cos(2\theta) \cos(\theta) d \theta=0. \end{equation*}$$ Del mismo modo, para$n \geq 3$: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits \left(a+b \left( e^{2i\theta} + e^{-2i \theta}\right) \right) \left(e^{i n \theta}+e^{-in \theta} \right) d \theta=2a \int_{0}^{\pi} \limits cos(n \theta) d \theta+ 4b \int_{0}^{\pi} \limits \cos(2 \theta) \cos(n\theta)=0. \end{equation*}$$ Por lo tanto, las únicas condiciones que quedan por satisfacer son para$n=0$y$n=2$. Empezando con$n=0$, tenemos: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi} \limits \left(a+b \left(e^{2i\theta}+e^{-2i \theta} \right) \right) d \theta=1 \iff a \pi + 2b \int_{0}^{\pi} \limits \cos(2\theta) d\theta =1 \iff a=\frac{1}{\pi}.\end{equation*}$$ Finalmente, por$n=2$la condición dice: $$\begin{equation*} \int_{0}^{\pi}\limits \left(a+b \left(e^{2i \theta}+e^{-2i\theta} \right) \right) \left( e^{2i \theta}+e^{-2i\theta}\right)d\theta=-1 \iff 2a \int_{0}^\pi \limits cos(2\theta) d \theta+ 4b \int_{0}^{\pi} \limits \cos^2(2\theta) d \theta=-1. \end{equation*}$$ El primer término desaparece y nos queda: $$\begin{equation*} 4b \frac{\pi}{2}=-1 \iff 2b \pi=-1 \iff b=-\frac{1}{2\pi}. \end{equation*}$$ Por tanto, la medida viene dada por: $$\begin{equation*} \rho(\theta)=\frac{1}{\pi}-\frac{1}{2\pi} \left(e^{2i\theta}+ e^{-2i \theta} \right)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{2\pi}(\cos(2\theta))=\frac{1-\cos(2\theta)}{\pi}=\frac{1-1+2\sin^{2}(\theta)}{\pi}=\frac{2}{\pi} \sin^2{\theta}. \end{equation*}$$ Como se desea, esto conduce a la fórmula de integración correcta: $$\begin{equation*} \int_{SU(2)} fdg=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \limits f(A(\theta)) \sin^2{\theta)} d \theta. \end{equation*}$$ Corolario: Las representaciones $$\begin{equation*} \pi_n:SU(2) \to GL(V_n), \; \; \left(\pi_n \left(\begin{pmatrix} a &b \\ -\bar b & \bar a \end{pmatrix} \right) f\right)(z_1,z_2):=f \left( \left(\begin{pmatrix}\bar a & -b \\ \bar b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2\end{pmatrix}\right)^{T} \right)=f(\bar a z_1 - b z_2, \bar b z_1 + az_2), \end{equation*}$$ dónde$V_n$es el espacio de polinomios homogéneos complejos de grado$n$en dos variables y los caracteres vienen dados por $$\chi_{n}(A(\theta))=\sum_{k=0}^{n} e^{i \theta(n-2k)}, \; \; \text{where} \; \; A(\theta)=\begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix}$$ son irreductibles.

Prueba: $||\chi_n||^2=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \limits \frac{\sin^2(\theta(n+1))}{\sin^2(\theta)} \sin^2(\theta) d \theta=\int_{0}^{\pi} \limits sin^2(\theta(n+1)) d \theta=1,$donde usamos

$$\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{n} e^{i\theta (n-2k)}=e^{i \theta n}+e^{i \theta n-2 i \theta}+ \dots +e^{-i \theta n} =e^{i \theta n} (1 + e^{-2i \theta}+\dots + e^{-2i \theta n} )\\ &=e^{i \theta n}\sum_{k=0}^{n} e^{-2i \theta k}=e^{i \theta n} \frac{1-e^{-2i \theta(n+1)}}{1-e^{-2i \theta}}=e^{i \theta n} \frac{e^{-i \theta(n+1)}(e^{i \theta(n+1)}-e^{-i\theta(n+1)})}{e^{-i \theta}(e^{i \theta}-e^{-i \theta})}\\ &=\underbrace{e^{i\theta n} e^{i\theta} e^{-i\theta(n+1)}}_{=1} \frac{e^{i \theta(n+1)}-e^{-i \theta(n+1)}}{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}=\frac{2i \sin(\theta(n+1))}{2i \sin(\theta)}=\frac{\sin(\theta(n+1))}{\sin(\theta)}. \end{aligned}$$

APÉNDICE: Aquí mostramos que estas son de hecho las únicas representaciones irreducibles. Esto se basa únicamente en el libro de Dieck, Bröcker.

Teorema: Toda representación irreducible de$SU(2)$es isomorfo a uno de los$(V_n,\pi_n)$introducido arriba.

Prueba: Supongamos que la representación irreducible$W$con caracter$\chi$era diferente a todos los$V_n$. Pero desde$\chi_n$abarcan un subespacio denso,$\chi$puede aproximarse mediante combinaciones lineales finitas de$\chi_n$. Pero esto contradice las relaciones de ortogonalidad:$\langle \chi,\chi \rangle=1, \langle \chi,\chi_n \rangle=0$.

Referencias: Theodor Bröcker, Tammo Dieck, Representations of compact Lie groups , Springer, 1995.

Notas de clase sobre la teoría de la representación , Universidad de Berkeley.