¿Por qué el rotacional de la densidad de corriente ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} es igual a cero?

Creo que la mejor manera de derivar esto es observar primero la ley de Biot-Savart ,

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ Desde $$\frac{\hat r}{r^2}=-\nabla_r\left(\frac1r\right)$$ (su texto puede derivar esto, si no puede probarlo comenzando con el RHS), podemos escribir (1) como $$\mathbf B(\mathbf r)=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\nabla_r\left(\frac{1}{r}\right)\,\mathrm dV'\tag{2}$$ Desde $\mathbf J$es una función o $r'$y no $r$, podemos ponerlo entre paréntesis e intercambiar el orden del producto vectorial (es decir, $\mathbf J\times\nabla=-\nabla\times\mathbf J$), $$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla_r\times\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'\tag{3}=\nabla_r\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$$ Entonces podemos definir el vector potencial como $$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$$ Llegar $$\mathbf B(\mathbf r)=\nabla\times\mathbf A(\mathbf r)\tag{4}$$ donde soltamos el subíndice $r$porque está implícito que se acabó $\mathbf r$.

Terminada la prueba, podemos tomar la divergencia de (4):

$$\nabla\cdot\mathbf B=\nabla\cdot\nabla\times\mathbf A\equiv0$$ por el hecho de que la divergencia de cada rizo es idénticamente cero (vale la pena el esfuerzo de probar esto).

Tampoco me gusta cuando los autores afirman que las cosas son obvias. Si es tan simple, ¿por qué no simplemente escribirlo?

De todos modos, con respecto a este caso específico. Si vas a la definición del rotacional verás que esta es una colección de derivadas parciales con respecto a la posición .

Entonces, afirmar que el rotacional es cero es afirmar que la velocidad es independiente de la posición de las partículas, es decir. se supone que no hay otros campos presentes, ya sea gravitacionales o eléctricos.

Es la divergencia del campo B y no la fuente real. debería haber escrito$\boldsymbol u'$para el vector velocidad.

$\boldsymbol J$puede definirse como sin ondulaciones, pero en realidad no existe tal cosa como una densidad de corriente sin ondulaciones.

Incluso en el interior de una corriente, encontrará que la corriente tiende a girar en espiral alrededor del eje de la corriente. La física del plasma es muy compleja.

La respuesta de Kanos es buena. Para entenderlo mejor, observe la ley BS que mencionó al principio.

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ La r de B a la izquierda es el radio vector desde el origen, su punto de observación. Pero la r en la fórmula integral debe calcularse como la distancia desde la fuente ($r'$) al puesto que actualmente considera. Así, (según la costumbre de mi maestro) escribiría $$\mathbf B(\mathbf x)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\mathbf {r}}{r^3}\,\mathrm dV'\tag{1}$$ dónde $$\frac{\mathbf {r}}{r^3} = \frac{\hat {r}}{r^2} = \nabla \left(-\frac {1}{r}\right)$$ Además, su respuesta muestra exactamente la lógica cuando introduces el vector potencial .

Esto me parece, "Respuesta correcta, razón incorrecta". Considere el problema magnetostático clásico que puede resolver usando la ley de Ampere, el cable portador de corriente infinitamente largo con densidad de corriente uniforme$J$y radio$R$. Usando la ley de Ampere encontrarás que

$$\begin{align} \mathbf{B}(r) &= \left\{\begin{array}{ll} \mu_0\frac{J\pi R^2}{2\pi r} \hat{\phi} & r \ge R \\ \mu_0\frac{J\pi r^2}{2\pi r}\hat{\phi} & r < R. \end{array}\right. \end{align}$$

Dentro del alambre el rizo de$\mathbf{J}$es cero, lo mismo para fuera del cable. En la superficie del alambre, sin embargo, el rizo de$\mathbf{J}$tiene un pico (función delta de Dirac) que puedes verificar usando el teorema de Stoke.

La respuesta correcta es que la derivación que da el libro es ambigua. La respuesta de Kanos proporciona una alternativa, pero no se necesita el vector potencial. Lo que realmente necesita es expresar la relación usando una notación un poco más detallada, pero sin ambigüedades. Dividimos el$r$de la ley de Biot-Savart para obtener dos variables independientes, una que es una variable de integración y la otra que no lo es.

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \operatorname{d}^3 r'.$$ Aviso:$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$no es una función de$\mathbf{r}$, por lo que cuando intenta tomar cualquier derivado con respecto a cualquier$\mathbf{r}$coordenada obtendrás cero.

Entonces, obtenemos:

$$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \nabla\cdot \left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$$ Ahora, aplique la identidad del producto cruzado del cálculo vectorial ,$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{B} - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$con$\mathbf{A}=\mathbf{J}$y$\mathbf{B}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}$Llegar $$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \left[(\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}'))\cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} - \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot \left(\nabla\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right)\right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$$ El primer producto vectorial se anula porque$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$no es una función de$\mathbf{r}$y$\nabla$es una derivada en el$\mathbf{r}$coordenadas Que el segundo producto cruzado se desvanece se puede mostrar usando un poco de álgebra o algunos trucos discutidos en otras respuestas.

El rotacional de un campo vectorial$\vec v$

$$\nabla \times \vec v$$ mide el movimiento de rotación del campo vectorial.

Tome su mano, extienda su pulgar y doble sus dedos.

Si el pulgar es el modelo para el flujo del campo vectorial, entonces

$$\nabla \times \vec v =0.$$

Si la curvatura de los dedos es el modelo para el flujo del campo vectorial, entonces

$$\nabla \times \vec v \neq 0$$

y mide el movimiento de rotación del campo vectorial.

De ahí el nombre "rizo".