¿Hay alguna manera de obtener el giro natural en las teorías no relativistas?

La ecuación de Pauli , que describe electrones de espín-1/2 no relativistas y es el límite no relativista de la ecuación de Dirac , se puede obtener a partir de la ecuación de Schrödinger a través del acoplamiento mínimo de una manera bastante similar a su contraparte relativista.

Considere la ecuación de Schrödinger para una partícula con carga$q$en un potencial electrostático externo$\Phi$:

$$\tag{A} i \partial_t | \psi(t) \rangle = \left( \frac{\textbf{p}^2}{2m} + q \Phi \right) | \psi(t) \rangle$$ ahora recuerde de las propiedades de las matrices de Pauli la identidad del vector de Pauli : $$\tag{B} (\boldsymbol \sigma \cdot \textbf a) (\boldsymbol \sigma \cdot \textbf b) = \textbf a \cdot \textbf b + i \boldsymbol \sigma \cdot (\textbf a \times \textbf b),$$ que da en particular para $\textbf p$la identidad $$\tag{C} (\boldsymbol\sigma \cdot \textbf p)^2 = \textbf p \cdot \textbf p \equiv \textbf p^2,$$ lo que nos permite reescribir la ecuación de Schrödinger (A) como $$\tag{C} i \partial_t | \psi(t) \rangle = \left( \frac{(\boldsymbol \sigma \cdot \textbf p)^2}{2m} + q \Phi \right) |\psi(t)\rangle.$$ Ahora usa el acoplamiento mínimo $$\tag{D} \textbf p \rightarrow \textbf p - q \textbf A,$$ obteniendo de (C) la ecuación de Pauli-Schrödinger: $$i \partial_t |\psi(t)\rangle = \left[ \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol \sigma \cdot (\textbf p- q \textbf A) \right)^2 + q \Phi \right] | \psi(t) \rangle$$ y elevando al cuadrado la expresión podemos explicitar el término de interacción entre espín y campo magnético: $$i \partial_t |\psi(t)\rangle = \left[ \frac{1}{2m} \left( (\text p - q \textbf A)^2 - q \boldsymbol \sigma \cdot \textbf B \right) + q \Phi\right] | \psi(t) \rangle,$$ con $\textbf B = \nabla \times \textbf A.$