Relación entre la dilatación del tiempo de la velocidad de caída libre y la dilatación del tiempo gravitacional en una métrica de Schwarzschild

Si eso es correcto. De Wikipedia :

"La dilatación del tiempo en un campo gravitatorio es igual a la dilatación del tiempo en el espacio lejano, debido a la velocidad que se necesita para escapar de ese campo gravitatorio. Aquí está la prueba.

1. Dilatación del tiempo dentro de un campo gravitatorio$g$es$t_0 = t_f \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}$

2. Velocidad de escape de$g$es$\sqrt{2GM/r}$

3. La fórmula de dilatación del tiempo por relatividad especial es$t_0 = t_f \sqrt{1-v^2/c^2}$

4. Sustituyendo la velocidad de escape por v en lo anterior$t_0 = t_f \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}$

Demostrado comparando 1. y 4".

La métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild$(t, r, \theta, \phi)$espectáculos
$ds^2 = -(1 - 2M/r) dt^2 + (1 - 2M/r)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$
dónde:
$c = G = 1$unidades naturales
$M$masa del agujero negro
$r_s = 2M$Radio de Schwarzschild (horizonte de eventos)

La dilatación del tiempo gravitacional medida en el infinito (lejos del horizonte) frente al tiempo propio$\tau$de un observador estacionario en una coordenada radial$r$es
$dt = (1 - 2M/r)^{-1/2} d\tau$

Dejemos caer un objeto en reposo desde el infinito. La simetría temporal permite escribir
$-K_\mu p^\mu = constant = E_\infty = (1 - 2M/r) p^t$
dónde:
$K^\mu = \partial_t = (1, 0, 0, 0)$tiempo matando vector
$p^\mu$4-impulso
$E_\infty = m$energía en el infinito (energía en reposo)
La energía del objeto medida por el observador estacionario es
$E = -p_\mu u^\mu = (1 - 2M/r) (1 - 2M/r)^{-1} m (1 - 2M/r)^{-1/2} = (1 - 2M/r)^{-1/2} m$ecuación (1)
donde:
$u^\mu = (dt/d\tau, 0, 0, 0)$observador estacionario 4 velocidades
Aplicando el principio de equivalencia, de la relatividad especial obtenemos
$E = \gamma m = (1 - v^2)^{-1/2} m$ecuación (2)
donde:
$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2}$Factor de Lorentz
Al comparar la ecuación. (1) y la ecuación. (2) tenemos
$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2} = (1 - 2M/r)^{-1/2}$
eso es
$v = (2M/r)^{1/2}$velocidad de un objeto en caída libre (en reposo desde el infinito) relativa a un observador estacionario

Mientras lees, el factor de Lorentz$\gamma$(dilatación del tiempo en Minkowski) es igual a la dilatación del tiempo gravitacional.

Nota: si desea que la dilatación del tiempo se aleje del horizonte frente al tiempo adecuado del objeto en caída libre, debe componer los dos efectos.