Integración de las ecuaciones geodésicas de Schwarzschild

Question

Integración de las ecuaciones geodésicas de Schwarzschild

Zlelik

Estoy tratando de hacer un gráfico similar a este del artículo de Wikipedia sobre las geodésicas de Schwarzschild :

Hay una ecuación como esta:

φ = \int \frac{d r}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - (1 - \frac{r_{s}}{r}) \frac{1}{r^{2}}}} .

$\varphi = \int\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-(1-\frac{r_s}{r})\frac{1}{r^2}}}.$

No entendí cómo logran dibujar esta imagen a partir de esa ecuación. Preguntas particulares:

Si es un gráfico polar, por lo general es opuesto, como $r(\varphi)$ , pero no $\varphi(r)$ . ¿Cómo puedo dibujar el gráfico polar si tengo $\varphi(r)$ ¿función?
¿Qué es el intervalo de integración aquí? $\varphi = \int_{?}^{?}...$

Zlelik

@ Countto10 Si integro de -Infinity a +Infinity, el resultado no dependerá de r. Será φ(rs, b), pero espero algo como φ(rs, b, R). Pongo R mayúscula para evitar confusiones con r dentro de integral.

usuario146020

Mis disculpas Zlelik, leí la publicación demasiado rápido (como de costumbre)

Respuestas (2)

Integración de las ecuaciones geodésicas de Schwarzschild

@ Countto10 Si integro de -Infinity a +Infinity, el resultado no dependerá de r. Será φ(rs, b), pero espero algo como φ(rs, b, R). Pongo R mayúscula para evitar confusiones con r dentro de integral.
Mis disculpas Zlelik, leí la publicación demasiado rápido (como de costumbre)

N0va · Answer 1

A su primera pregunta: usar una gráfica paramétrica en $r$ o $\phi$ y tramando $\left\{r\cos(\phi),r\sin(\phi)\right\}$ .

A su segunda pregunta: ahí es donde las cosas se vuelven complicadas. Dependiendo de qué tipo de geodésica salga, el radio se reduce o aumenta y el ángulo también es un poco problemático para las órbitas cerradas. Una formulación con el tiempo adecuado como parámetro es más adecuada para la implementación.

Esta geodésica de demostración de Wolfram en el espacio de Schwarzschild de Niels Walet tiene una implementación simple de una integración en el tiempo adecuado.

Habiendo dicho eso; con un poco de ajuste uno puede, por supuesto, implementar la ecuación diferencial para $\phi$ . JB Hartle proporciona un cuaderno de Mathematica aquí como suplemento a su libro Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity .

Gracias por la muy buena respuesta. El ejemplo de Mathematica es muy útil. También uso Mathematica, pero no tengo acceso a Mathematica en este momento y podré verificar este ejemplo más adelante. ¿Cuál será el intervalo de integración en el caso más simple, solo para dibujar la misma imagen que adjunté en la pregunta? Solo necesito una imagen, donde pueda cambiar algunos parámetros como b y rs. El momento adecuado realmente no me importa. ¿O no es posible sin el tiempo adecuado?
Bueno, uno puede simplemente implementar la ecuación en $\phi$ eligió un $\phi(r_0)$ y un $r_0$ e integrar a un $r_1$ para geodésicas que caen directamente en el agujero negro que funciona bien. Pero para las curvas no ligadas y ligadas uno se encontrará con algunos problemas con el dominio de integración, ya que $r$ puede hacerse más pequeño primero, luego más grande y así sucesivamente. El código de Hartle se ocupa de eso.

Zlelik · Answer 2

Solo para resumir todos los buenos comentarios y respuestas.

Si uso esta ecuación simple con un intervalo de integración de 0 a Rmax

$\Large \varphi(r_s,b,R_{max}) = \Huge\int_{0}^{R_{max}}\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{1}{b^2}-(1-\frac{r_s}{r})\frac{1}{r^2}}}$

Solo puedo obtener líneas rojas de la imagen en mi pregunta original, cuando el fotón cae en el Agujero Negro, como dijo MJ Steil.

Para obtener líneas verdes, esta ecuación no funcionará y se necesita la solución de la ecuación diferencial. Un buen ejemplo lo proporciona MJ Steil.

A partir de este ejemplo, pude obtener esta imagen en la que el fotón hace un bucle alrededor del agujero negro y regresa.

Integración de las ecuaciones geodésicas de Schwarzschild

Zlelik

Zlelik

usuario146020

Respuestas (2)

N0va

Zlelik

N0va

Zlelik

¿Hay algún problema con esta simulación numérica de las órbitas de fotones de Schwarzschild?

Expresión de forma cerrada para la posición en función del tiempo del objeto que cae directamente en el agujero negro desde el infinito

Relación entre la dilatación del tiempo de la velocidad de caída libre y la dilatación del tiempo gravitacional en una métrica de Schwarzschild

Relatividad General de Wald, sección 6.3 Página 144

Curvatura de la luz alrededor de un agujero negro [duplicado]

Órbita circular en coordenadas de Schwarzschild [cerrado]

¿Por qué caes hacia el centro de un agujero negro?

Interpretación de Coordenadas Normales

Agujero negro de Kerr sin masa

¿Cómo derivar la solución de Schwarzschild exterior y/o interior utilizando la ecuación de exceso de radio de Feynman?