¿Por qué caes hacia el centro de un agujero negro?

Si consideramos la métrica de Schwarzschild y solo el movimiento radial ($c=1$unidades), entonces

Si$r>r_s$entonces$g_{00}>0$y$g_{11}<0$. Para una partícula con masa, sabemos que$d\tau^2>0$, Lo que significa que$g_{00}\ dt^2 > g_{11}\ dr^2$. Esto permite$dr=0$(una partícula estacionaria) fuera del horizonte de sucesos.

Ahora si dejamos$dr<0$tal que la partícula se mueve dentro del horizonte de sucesos, donde$g_{00}<0$y$g_{11}>0$. Ahora para minimizar$dr^2$, podríamos establecer$dt^2=0$, pero claramente entonces$dr^2$ debe ser$>0$para asegurar que$d\tau^2 >0$. Esto significa que la partícula no puede estar estacionaria dentro del horizonte de eventos, pero también significa que$dr/dt$no puede cambiar de signo porque$dr$no puede pasar por cero.

Así como$dr$fue negativo para entrar en el horizonte de eventos, debe seguir siendo negativo como$t$aumenta Preguntaste específicamente sobre el momento adecuado.$\tau$en vez de$t$, pero como$d\tau$también debe ser positivo, entonces$dr/d\tau$también debe seguir siendo negativo.

EDITAR: coordenadas de Eddington-Finkelstein.

Como señala Arthur, un problema con el argumento anterior es que no es posible cruzar de$r>r_s$a$r<r_s$debido a la singularidad de las coordenadas en las coordenadas de Schwarzschild. Moviéndonos en cambio a las coordenadas de Eddington-Finkelstein , tenemos

Si$r>r_s$entonces$g_{00}>0$así que no hay problema en tener$dr=0$,$dt'>0$dar$d\tau^2>0$y una partícula estacionaria es posible.

Ahora, no hay problema en$r=r_s$; siempre y cuando$dt'>0$y$dr<0$y$dr/dt' >-1$entonces$d\tau^2>0$. es decir, la partícula solo puede ir hacia adentro a través del horizonte de eventos.

Si$r<r_s$entonces$g_{00}<0$,$g_{01}<0$y$g_{11}<0$. Ahora la única forma en que$d\tau^2>0$para$dt'>0$es si$dr<0$, por lo que la partícula no puede estar estacionaria y debe continuar moviéndose hacia adentro.

No puedes demostrar que la partícula está cayendo hacia el agujero negro porque las ecuaciones de movimiento son reversibles en el tiempo. Es decir, funcionan igualmente bien para una partícula que cae hacia el agujero negro y para una que se aleja rápidamente del agujero negro.

Hay varias formas de calcular la trayectoria y, por lo general, terminas calculando$\left(dr/d\tau\right)^2$como de hecho puedes recordar haberlo hecho. Luego, la raíz cuadrada negativa da la velocidad de la partícula que se dirige hacia el agujero negro y la raíz positiva da la velocidad de la partícula que se aleja del agujero negro.