¿Hay algún déficit conocido de "lógica relevante"?

El principio de explosión es la ley de la lógica clásica y sistemas lógicos similares, según la cual cualquier afirmación puede probarse a partir de una contradicción. Algunos sistemas formales tempranos como el Begriffsschrift de Frege contenían contradicciones ocultas en los axiomas básicos, pero el problema fundamental no desaparece incluso si los axiomas básicos están libres de contradicciones (=consistentes). El problema es que es demasiado fácil para un ser humano cometer un error que conduzca a una contradicción.

Una estrategia para abordar este problema en la vida cotidiana es desconfiar de las cadenas de razonamiento que se alejan demasiado del tema en cuestión. Esta estrategia podría llamarse el principio de relevancia.

Este problema también motivó el desarrollo de diferentes sistemas de lógica paraconsistente . Me parece que la lógica de la relevancia es uno de estos sistemas, aun así admito que su objetivo principal es evitar las paradojas de la implicación material y estricta. De los textos que leí sobre la lógica de relevancia, concluyo que es bastante exitoso en formalizar el principio de relevancia (a través del principio de participación variable ). Sin embargo, lo que echo de menos hasta ahora son las investigaciones sobre si hay teoremas importantes y relevantes que no pueden probarse si se adopta el principio de relevancia.

Lo que me incomoda con el principio de relevancia es que los números complejos pueden usarse para probar algunas afirmaciones sobre números naturales que pueden ser muy difíciles de probar sin ellos. Entonces me pregunto si existen buenas justificaciones para el principio de relevancia. Sin embargo, esta es también una pregunta más directa sobre los sistemas existentes de lógica de relevancia y su principio de compartición de variables proposicionales . Su teoría de la prueba parece estar diseñada con el objetivo de que las implicaciones que violen el principio de distribución de variables no puedan probarse, sin comprometer la capacidad de probar implicaciones que satisfagan el principio de distribución de variables .

Sin embargo, no encontré ninguna indicación de si se lograron estos objetivos. ¿Encontraré tales indicaciones (o incluso pruebas) si leo exposiciones más completas de lógica de relevancia, o hay algo mal en mis expectativas de que se den tales indicaciones (o pruebas)?

La lógica de relevancia (RL) trata de evitar las paradojas de la implicación material/estricta ; también, trata de excluir inferencias como The moon is made of green cheese. Therefore, either it is raining in Ecuador now or it is not.las que son clásicamente válidas, pero que normalmente son contrarias a la intuición. En este sentido, están 'más cerca' de los "usos cotidianos del razonamiento lógico". En cambio, parece asumir que RL es una "estrategia" para evitar "largas y complicadas cadenas de razonamiento" (?)... ¿Por qué pensaría eso? ¿Será que no entendiste RL?
El uso de comillas aquí me molesta mucho.
@stoicfury Reescribí la pregunta sin comillas. También traté de hacer declaraciones más definidas. Para las declaraciones vagas restantes, agregué breves explicaciones sobre cómo surgió la vaguedad.
@DBK Por supuesto, es posible que no haya entendido bien RL. Sin embargo, creo que es más probable que no haya logrado escribir una pregunta clara, especialmente al explicar lo que quiero decir con el principio de relevancia . Aclaré en la pregunta ahora que la lógica de relevancia tiene bastante éxito en formalizar el principio de relevancia, al menos en mi opinión. Pero mi pregunta es si el principio de relevancia en sí puede justificarse (por ejemplo, como un caso especial de la navaja de Occam).
El principio de relevancia establece informalmente que para cualquier implicación P->Q, Py Qdebe compartir al menos una variable proposicional . Por lo tanto, el principio de relevancia es más conocido como el principio de participación variable . La relevancia aquí se refiere a la 'continuidad tópica' de Py Q. No tiene nada que ver con seleccionar (?) cuáles Psson Qsrelevantes o importantes, si eso es lo que quieres decir. Por lo tanto, no entiendo cómo esto podría afectar la demostrabilidad de "teoremas importantes y relevantes" (como, por ejemplo, la lógica intuicionista, que, al rechazar LEM, hace que ciertas pruebas sean imposibles)...
@DBK Una investigación sobre si el principio de compartir variables afecta la demostrabilidad de "teoremas importantes y relevantes" es exactamente lo que estoy buscando. Sin embargo, para capturar mejor la esencia del principio de relevancia, el principio de distribución de variables debe ir acompañado de modificaciones de la teoría de la prueba (similar a la lógica lineal) para evitar que se infiltren variables proposicionales irrelevantes. Pero estas modificaciones hacen que sea menos obvio que todos todavía se pueden probar "teoremas importantes y relevantes".
Bien, ahora entiendo lo que quieres decir. Su punto es que la semántica de implicación relevante (P implica Q) tiene una noción teórica de prueba peculiar de implicación relevante (P es una prueba de Q). Le gustaría saber qué sucede si aplicáramos esto a las matemáticas, de la misma manera que la lógica intuicionista produce matemáticas constructivas: ¿ Qué tipo de teoremas aún serían demostrables en las "matemáticas relevantes"? Esta es una pregunta difícil, porque no conozco ninguna aplicación de RL a las matemáticas, RL se usa principalmente en el dominio de la lógica filosófica.
Le sugiero que reformule su pregunta bajo el título ¿ Qué tipo de teoremas aún serían demostrables en "matemáticas relevantes"? y agregue estos comentarios, así como la analogía con la lógica/matemática intuicionista y, posiblemente, eliminando la referencia a la "navaja de Occam" y las "cadenas de razonamiento complicadas", que me parecen engañosas más que útiles. Por cierto, eso sería una gran pregunta y revisaría mi voto negativo y positivo :) (Puede haber algún motivo para argumentar que su pregunta realmente pertenece a Math.SE, pero no lo creo).
@DBK Traté de incorporar sus sugerencias sin dejar de tener en cuenta lo que realmente me motivó a hacer esta pregunta. En realidad, podría no ser la gran pregunta que esperabas, porque solo pregunto sobre la lógica de relevancia proposicional (porque eso es lo que leí hasta ahora). Sin embargo, preguntar qué tipos de teoremas aún serían demostrables solo se vuelve interesante para la lógica de predicados de primer orden, pero la lógica de relevancia de predicados de primer orden solo se introduce en exposiciones más completas de lógica de relevancia.

Respuestas (3)

No estoy seguro de si existen los problemas que te estás preguntando.

Tal vez (A-> B) -> ((A -> (A->B)) , (Contracción inversa) es uno de ellos si crees que debería ser válido (no es válido en E y R )

¿Encuentra (A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B)) paradójico?

La longitud de una demostración depende de qué axiomas y reglas utilice. Los sistemas de estilo Hilbert siempre son más largos que los sistemas de estilo Gentzen. a que sistema te refieres?

Creo que los problemas están más en el campo de:

¿A qué lógica relevante te refieres en primer lugar? E, T, R, Ack o incluso otro? Estaba leyendo que incluso en E hay algunas paradojas. (Volumen de vinculación 1 par 14.6 llamado acertadamente "paradoja recuperada")

¿Qué es la negación en primer lugar? (mi puntaje actual es que hay 12 versiones diferentes) ¿Es válido el silogismo disyuntivo? (Q, P v ~Q => P)

Problemas con la Conjunción (hay una diferencia entre ((P&Q) -> R) y (P -> (Q -> R)) no me pregunten qué.

Gracias, tanto "(A->B)->((A->(A->B))" como "(A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B) )" satisfacen el principio de distribución de variables, por lo que estos son definitivamente el tipo de problemas por los que estaba preguntando. Entonces, todo lo que tengo que hacer ahora es convencerme de que realmente no son válidos en E y R, y luego tratar de entender si esto es realmente pretendido o no Sabía que existen muchas versiones diferentes de lógica relevante como E, T, R o ..., pero no entendí completamente por qué.
"(A-> B) -> ((B -> A) -> (A -> B))" Es válido "(A->B)->((A->(A->B))" es inválido
No estoy tan seguro de que los sistemas de estilo Gentzen siempre tengan derivaciones más cortas que las derivaciones de estilo Hilbert. En cualquier sistema de Hilbert con una regla X(x, y), x|-y, el desprendimiento condensado es una regla de inferencia derivable que convierte (CCCqprCpr, CqCpr) en una derivación completa. No tengo del todo claro lo que quiere decir con una prueba de estilo Gentzen (supongo que los árboles de prueba ... ¿o se refiere a alguna prueba de estilo de deducción natural?), ¿Pero es la prueba de estilo Gentzen realmente tan corta?

De acuerdo con la respuesta a esta pregunta , la lógica relevante+PA, aunque demuestra con éxito su propia consistencia por medios financieros, algo que no es posible en la lógica de primer orden+PA, no logra demostrar que hay números enteros que no son residuos cuadráticos. Esta es una pieza bastante estándar de teoría de números que perder, si estamos interesados ​​​​solo en extensiones conservadoras de PA; sin embargo, podría interpretarse que significa que es posible un tipo muy diferente de aritmética bajo la lógica relevante.

Uno de los problemas con la lógica de relevancia es que no es monótona.

ver http://en.wikipedia.org/wiki/Monotonicity_of_entailment sobre monotónico

en lógica de relevancia

P-> Q no implica P-> (R -> Q)

Ni siquiera estoy seguro de que sea válido si R es un teorema de lógica de relevancia

Dicho así, no es necesariamente un problema. Lo que me gusta saber es si hechos como este pueden convertirse en problemas, por ejemplo, al aumentar la longitud de algunas pruebas en más de un pequeño factor constante, o al no poder probar algunas implicaciones que satisfacen el principio de distribución de variables .
¿Hay algún déficit conocido de "lógica relevante"?
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